Некоторые начальные и начально- краевые задачи линейной гидродинамики с разрывными начальными или граничными условиями

• Автор: Баева, Светлана Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 129 с.

Глава 1. Задача Коши для системы уравнений, описывающей малые колебания вязкой сжимаемой жидкости

1.1. Некоторые вспомогательные утверждения

1.2. Доказательство теоремы о существовании решения задачи

Коши

1.3. Асимптотические представления при * -» +оо компонент

решения задачи Коши

Глава 2. Существование и гладкость решения задачи (6) - (8)

2.1. Сведение исходной задачи к обобщенной

2.2 Построение формального решения обобщенной задачи (2.1.4)

2.3. Доказательство теоремы о существовании первой

компоненты обобщенного решения задачи (6) - (8)

2.4 Доказательство теоремы о существовании второй
компоненты обобщенного решения задачи (6) - (8)
2.5. Доказательство теоремы о существовании третьей
компоненты обобщенного решения задачи (6) - (8)
2.6. Теорема существования решения задачи (6) - (8)
Глава 3. Асимптотические при t -> со формулы решения
задачи (6) - (8)
3.1. Асимптотические при / -»оо формулы третьей компоненты
решения задачи (6) - (8)
3.2. Асимптотическая формула при / -» оо для первой компоненты
решения задачи (6) - (8)
3.3. Асимптотическая формула при / -> оо для второй компоненты
решения задачи (6) - (8)
3.4. Асимптотические оценки при 1 -> оо компонент решения
Глава 4. Проверка выполнения граничных условий
4.1. Проверка первого граничного условия
4.2. Проверка второго граничного условия

Глава 5. Начально - краевые задачи динамики экспоненциально
стратифицированной жидкости
5.1. Построение решения задачи динамики стратифицированной жидкости с разрывными начальными и однородными граничными условиями
5.2 Изучение гладкости компонент решения задачи (36)-(38)
5.3 Построение решения задачи динамики стратифицированной жидкости при однородных начальных и разрывных граничных условиях
5.4. Существование решения задачи (36), (39), (40)
5.5. Вспомогательные оценки
5.6. Изучение гладкости компонент решения задачи (36), (39),(40)
5.7. Проверка выполнения условий (39), (40)
Литература

Настоящая работа посвящена изучению качественных свойств решений некоторых начальных и начально-краевых задач, описывающих малые колебания жидкостей. Под качественными свойствами решений понимаются точные асимптотические представления решений при ;-»со, изучение гладкости решений и динамики разрывов решений, порожденных негладкими начальными и граничными условиями.
Первыми работами в математической теории движения вращающихся жидкостей явились работы С. Л. Соболева [1], [2]. В этих работах исследовалось движение идеальной (то есть невязкой и несжимаемой) вращающейся жидкости. В работах Р. А. Александряна [3], Т. И. Зеленяка [4],
В. Н. Масленниковой [5], В. Н. Масленниковой и М. Е. Боговского [5], [7], В. П, Маслова [8] исследовалась асимптотика при * -> оо решений различных задач, описывающих движение вращающихся жидкостей.
В настоящее время возрос интерес к изучению динамики неоднородных, в частности, стратифицированных жидкостей. Здесь можно указать работы М. И. Вишика [9], Т. И. Зеленяка и В. П. Михайлова [10]. В монографии А. В. Глушко
[11] содержатся результаты, относящиеся к дифференциальным операторам с неоднородным символом. В [11] рассмотрены также вращающие вязкие сжимаемые жидкости. Следует отметить также работу С. Л. Ляховой [12], в которой рассмотрена задача Коши для линеаризованной системы уравнений Навье - Стокса в случае, когда носитель правой части начального условия сосредоточен в круге единичного радиуса.
В настоящей работе рассматривается задача Коши и начально-краевые задачи для линейных систем дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания вязких сжимаемых и вязких стратифицированных жидкостей. Рассматриваются случаи разрывных начальных или граничных условий. Получены асимптотические при (-»со формулы решений таких задач, доказаны теоремы о существовании решений этих задач, изучено, в каком смысле выполняются начальные и граничные условия.
В первой главе рассматривается задача Коши для системы уравнений, описывающей малые плоские колебания вязкой сжимаемой жидкости. На множестве = {х е Я2, / > 0} рассмотрим систему уравнений

функцией по (х1,х2)еЯ2^>3>0 при любом £>0. Справедливо следующее представление этой функции
В' (*’') = ](»л)а {хл)~
~'' 1/7Г-1,[‘,',И ,](Д)г,(»'р12)+ я|'(^<) + й| (х.,)£'” ’1'"1 ■ (2-3.9)

£.(*1»*2) = - /2-.ч-2- 2 -т; (2.3.10)
х2+(х,+1) х2 + (х,-1)
Функции В (х,/), Е>1[х,{) есть непрерывные и ограниченные функции при всех
хх еЯ х2 >0, (>0. Свертки в правой части (2.3.9) непрерывны и равномерно
по х, е Л1, х2 > 0, / > 0 ограничены
Доказательство. Из (2.3.8) и (2.2.19) при у = 1 получим,

еп‘-еГ1‘
рГз> _ РП‘
+ Т- -е г}].
Представим функцию Вх (х,/) в виде: Вх (х, = Вц (х, ґ) + В12 (хд) + В13 (х,ґ),
(2.3.11)
(2.3.12)

еп‘-еп‘
(Ух-У2)(п-Уъ)

ен-ен ч, +- — )СІ8.
(2.3.13)
(У1-Уз)(У2-Уг)
Здесь области определены в (1.2.3), у = 1,2,3.
Оценим каждое из слагаемых в правой части (2.3.12). Используя разложения (2.2.20) и (2.2.21) получим с учётом (2.2.16),
М*,фс і
И<г
Так как рх (я) непрерывная функция, то
|ВІХ(х,і)<с2 | 51^2 1 I2 СІ8<С2 |
И«5 И И«*
То есть, £п(х,г) есть непрерывная по совокупности переменных функция, как преобразование Фурье от абсолютно интегрируемой функции.