Обратные задачи для параболических уравнений в ограниченной области

• Автор: Колтуновский, Олег Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Южно-Сахалинск
• Количество страниц: 136 с.

ГЛАВА 1. Обратные задачи для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени
§ 1. Обратная задача в случае финального переопределения
1.1. Решение обратной задачи методом перехода к нелокальной краевой задаче для нагруженного уравнения составного типа
1.2. Исследование единственности решения обратной задачи
§ 2. Обратная задача в случае интегрального переопределения
2.1. Исследование существования решения обратной задачи
2.2. Исследование единственности решения обратной задачи
1ПАВА 2. Обратные задачи для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при второй пространственной производной
§ 1. Обратная задача с финальным переопределением
1.1. Исследование существования решения обратной задачи
1.2. Исследование единственности решения обратной задачи
§ 2. Обратная задача с интегральным переопределением
2.1. Исследование разрешимости обратной задачи
2.2. Исследование единственности решения обратной задачи
ГЛАВА 3. Обратные задачи для параболического уравнения с двумя неизвестными коэффициентами
§ 1. Обратная задача с неизвестным коэффициентом и неизвестной правой частью
§ 2. Обратная задача с неизвестными коэффициентами уравнения
Заключение и выводы
Список литературы
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Изучение краевых задач для параболических уравнений является одной из классических проблем теории диференциаль-ных уравнений с частными производными и вызывает постоянный интерес математиков.
В настоящее время известно немало случаев, когда потребности практики приводят к задачам определения коэффициентов дифференциального уравнения (обыкновенного или в частных производных) по некоторым известным функционалам от его решения. Такие задачи получили название обратных задач. Прикладная важность обратных задач настолько велика (они возникают в самых различных областях человеческой деятельности: сейсмологии, разведке полезных ископаемых, биологии, медицине, контроле качества промышленных изделий и т.д.), что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики.
Вопросы разрешимости тех или иных обратных задач для параболических уравнений изучались во многих работах — отметим здесь, прежде всего, работы А. И. Прилепко [47-51], Ю. Е. Аниконова [1-6, 59-63], Ю. Я. Белова [12-17, 64-67], Н. И. Иванчова (Украина) [22-25, 69], Б. А. Бубнова [18], Е. Г. Саватеева [55-57], Н. Я. Безнощенко [8-11], В. В. Соловьева [58], А. И. Кожанова [30-33, 70-72]и других.
Цель работы. Основной целью работы является исследование вопросов разрешимости нелинейных обратных задач для параболических уравнений второго порядка в случаях, когда неизвестен один из коэффициентов при старших производных.
Методы исследования. Разрешимость обратных задач с дополнительным переопределением решения на временных слоях устанавливается с помощью сведения их к нелокальным краевым задачам для нелинейных “нагруженных” уравнений составного типа. Разрешимость обратных задач с интегральным переопределением устанавливается с помощью сведения их к локальным краевым задачам для нелинейных “нагруженных” уравнений параболического типа.
При решении краевых задач для “нагруженных” уравнений используются методы срезывающих функций и продолжения по параметру, а также принцип максимума для параболических уравнений.

Научная новизна. В диссертации получены следующие основные ре, зультаты:
1. Исследована разрешимость нелинейных обратных задач с финальным или интегральным переопределением для параболических уравнений с неизвестным коэффициентом при одной из старших производных в случаях, когда соответствующая прямая задача является первой или второй начально-краевой задачей для параболического уравнения. Доказаны теоремы существования и единственности.
2. Исследована разрешимость нелинейных обратных задач с дополнительным переопределения решения на временных слоях для параболических уравнений с двумя неизвестными коэффициентами в случае, когда соответствующая прямая задача является первой начально-краевой задачей для параболического уравнения. Доказаны теоремы существования.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты дополняют многочисленные исследования по нелинейным обратным задачам, указывают новые подходы в их решении и могут найти применение в дальнейшем изучении обратных задач для параболических уравнений второго и более высоких порядков.
Значение работы также определяется прикладной значимостью исследуемых задач для решения различных проблем современного естествознания.
Апробация работы. Результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались:
— на семинаре “Неклассические уравнения математической физики” под руководством д.ф.-м.н., профессора А. И. Кожанова (г. Новосибирск, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2002-2005 гг.);
— на семинаре “Избранные вопросы математического анализа” под руководством д.ф.-м.н., профессора Г. В. Демиденко (г. Новосибирск, Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2002-2005 гг.);
— на семинаре “Численные методы” под руководством д.ф.-м.н., профессора А. Ф. Воеводина (г. Новосибирск, Институт гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 2004-2005 гг.);
— на Дальневосточной математической школе-семинаре им. Е. В. Золотова (г. Владивосток, 2003 г.);
— на IV Международной конференции по математическому моделированию (г. Якутск, 2004 г.);
— на областном семинаре по дифференциальным уравнениям под руководством д.ф.-м.н., профессора А. В. Доманского (г. Южно-Сахалинск,

2.2. Исследование единственности решения обратной задачи
Обсудим вопрос единственности решения обратной задачи (1.2.1)—(1.2.4). Пусть и = u(x,t) — решение обратной задачи (1.2.1)—(1.2.4), которое существует по теореме 1.2.2 и которое удовлетворяет неравенствам:

О <К*0^ J a(x,t)a(t)ut(x,t) о
О < К* ^ qu{x) ^ К**, (1.2.21)
где qu{x) = q(x), а функция q(x) определена равенством (1.2.14). Числа Щ, Щ*, К*, К** — существуют, например
K*0 = k*0(l-ß), K» = k*0* + ßk*0,
к* _ Mj-Lll к** - К+лК
к? ’ к*0
при ß = 1/2, 7 = 1/2.
Введем функцию u(x,t) = u(x,t) — M{x,t), где
M(x,t) = (1 - a:)/i0(0 + ащх(4).
Тогда функция гГ(ж, £) удовлетворяет граничным условиям
u(0,t) = u(l,t) = О, й(ж, 0) = ио(я) — (1 — я)но(О) — ж«о(1) = щ(х) (1.2.22)
и уравнению
а(х, i)qu(x)ut - ихх + с(х, t)ü = /(ж, t), (1.2.23)

f(x,t) = f(x,t) - a(x,t)qu(x)Mt(x,t) - c(x,t)M(x,t).
Лемма 1.2.1. Пустъ коэффициент уравнения (1.2.1) a(x,t) зависит только от переменной t: a(x,t) = a{t); в области D справедливы неравенства:
dt ^ б, (czc)^
Тогда для функции u(x,t), которая является решением краевой задачи