Решение задач дифракции с условиями сопряжения на бесконечных границах раздела областей методами Фурье и потенциалов

• Автор: Москалев, Николай Алексеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 101 с.

Введение
Явлением дифракции (от лат. — "(ШЕгасШв” — разломанный) называется поведение волн различной природы в среде или средах, имеющих границы с теми или иными свойствами. Благодаря работам Пуанкаре и Зоммерфельда в конце девятнадцатого века стало ясно, что задачи теории дифракции — суть краевые задачи математической физики. Необходимость изучения таких задач обусловлена многочисленными их приложениями в физике, механике сплошных сред, геофизике, океанографии, медицине и др.(см., например, [33], [35]).
Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с конечной границей хорошо изучены. Гораздо меньше изучены краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с бесконечной границей. Это объясняется тем, что в этом случае методы теории потенциалов и Фурье сводят краевые задачи для эллиптических уравнений соответственно к интегральным уравнениям типа свертки и системам линейных алгебраических уравнений с бесконечным числом неизвестных, являющимися дискретными аналогами инте-

тральных уравнений типа свертки. Подробный обзор работ по поводу интегральных уравнений типа свертки и бесконечной системы линейных алгебраических уравнений дан в монографии [5]. Кроме того, для обеспечения единственности решения краевых задач для эллиптических уравнений в областях с бесконечной границей необходимо задавать условия на бесконечности. Эти условия, называемые "условиями излучения” или "принципом излучения”, для уравнения Гельмгольца Д« + Л2и = /, где / — достаточно гладкая финитная функция, были найдены А. Зоммерфельдом [41]. Доказательство принципа излучения для уравнения Гельмгольца было указано в 1933 году В. Д. Купрадзе [8]. Условия излучения и теоремы единственности для уравнения Гельмгольца стали предметом работ большого круга авторов [39, 37, 2, 3, 40, 1, 12] и других. В этих работах рассматриваются граничные задачи в бесконечных областях, когда среда занимает внешность некоторой ограниченной области. До недавнего времени не была доказана единственность решения задач математической теории дифракции с условиями сопряжения на бесконечных границах раздела областей. Впервые теорема единственности решения задачи математической теории дифракции для бесконечных областей с границей, простирающейся в бесконечность, была доказана Ф. Г. Мухлисо-вым [26].
Метод потенциалов неоднократно применялся разными авторами

к решению краевых задач для эллиптических уравнений как второго порядка, так и высших порядков и систем. Соответствующие работы, обзор которых имеется в литературе [11, 28, 29, 30, 31, 32], хорошо известны. Впервые удалось применить метод потенциалов к решению задач дифракции с условиями сопряжения на конечной границе раздела областей Ф. Г. Мухлисову. В докторской диссертации Ф. Г. Мухлисова [26] предложен способ нахождения потенциалов, сводящих задачу дифракции к регулярной системе интегральных уравнений.
Целью данной работы является изучение возможности распространения указанных результатов Ф. Г. Мухлисова на другие задачи математической теории дифракции. Доказывается теорема единственности решения задачи математической теории дифракции с условиями сопряжения на двух и трех границах раздела областей. Применяются методы Фурье и потенциалов к решению задач математической теории дифракции с условиями сопряжения на бесконечных границах раздела областей.
Диссертация состоит из введения и трех глав.
В первой главе даются постановки задач математической теории дифракции и доказывается единственность решений этих задач.
В 1.1 методом разделения переменных строятся некоторые частные решения уравнения Гельмгольца, удовлетворяющие на беско-

ГМ и рй, а соответствующие области — ТТ Т3 Рассмотрим задачу. Требуется найти решения уравнений
ДО,- + р; = 0 0 = Т73) (2.1)
в областях соответственно Т Т®, Т(3 удовлетворяющих на Г'-’-1 условиям сопряжения
и; - и-+1
0 = 1,а), (м)
«; ду а)+1 ду
при Я -+ оо условиям излучения
/ |ЩЧСп = 0(1),
г*0)

I Ш- «АуСг/ ёСп = о(1) и = Т73). (2.3)
Здесь Ся = {(х, у) е Е2 : х2 + у2 = В2} — окружность, С$ = ТЛСяД; = а;/3;-(а;- > О ,Д- > 0), а у, /Зу— постоянные, и р,- 6 в, где 5 — класс бесконечно дифференцируемых функций д(х), удовлетворяющих неравенству |
Р[а = 9=1 д(х)е1ХЧх,

1 +00
Р-1Ш = 9 = тг / (2.4)