Разрешимость и качественные свойства алгебро-дифференциальных систем

• Автор: Щеглова, Алла Аркадьевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 286 с.

Обозначения и соглашения

1 Классические решения алгебро-дифференциальных

систем

1.1 Линейные АДС

1.1.1 Свойства матриц и матричных пучков

1.1.2 Центральная каноническая форма и левый регуляризирующий оператор

1.2 Нелинейные АДС

1.2.1 Определения и обозначения

1.2.2 Условия существования ЛРО

1.2.3 Существование решения

1.2.4 Существенно вырожденные АДС

2 Обобщенные решения линейных АДС
2.1 Вспомогательные сведения об обобщенных функциях
2.2 Обобщенные решения начальных и краевых задач для АДС
с аналитическими коэффициентами
2.2.1 Постановка обобщенной задачи Коши
2.2.2 Постановка обобщенной краевой задачи
2.2.3 Обобщенное решение задачи Коши, заданной на полупрямой
2.2.4 Обобщенное решение задачи Коши, заданной на отрезке
2.2.5 Решение обобщенной краевой задачи
2.2.6 Пример задачи оптимального управления
2.3 Обобщенное решение и существование левого регуляризи-

рующего оператора
2.4 Метод возмущения
2.4.1 Сходимость метода возмущения для обобщенной задачи Коши
2.4.2 Иллюстративный пример
3 Устойчивость, управляемость и наблюдаемость
3.1 Устойчивость по Ляпунову
3.1.1 Непрерывная зависимость решений АДС от начала
ных данных
3.1.2 Регуляризация и устойчивость линейных АДС
3.1.3 Расщепленная форма для линейных АДС
3.1.4 Приводимость линейных АДС
3.1.5 Устойчивость квазилинейных систем
3.2 Управляемость линейных АДС
3.3 Наблюдаемость линейных АДС
3.3.1 Теорема дуальности
3.3.2 Критерий наблюдаемости
3.4 Наблюдаемость вырожденных линейных гибридных систем
с постоянными коэффициентами
3.4.1 Существование решения
3.4.2 Регуляризация и наблюдаемость
3.4.3 Критерии наблюдаемости
3.4.4 Иллюстративный пример
4 Алгебро-дифференциальные системы с отклоняющимся
аргументом
4.1 Определение решения
4.2 Определение и особенности ЛРО для АДС с отклоняющимся аргументом
4.3 Регулярные системы
4.4 Нерегулярные системы с постоянными коэффиицентами
4.4.1 Условия существования ЛРО
4.4.2 Иллюстрирующие примеры
4.5 Нерегулярные системы с переменными коэффициентами
4.5.1 Вспомогательные результаты
4.5.2 Общее решение типа Коши и существование операторов УУ(,)

4.5.3 Достаточное условие существования операторов >У(|) •
4.6 Обобщенное решение регулярной АДС с отклоняющимся
аргументом
4.6.1 Определения, обозначения и вспомогательные утверждения
4.6.2 Существование классического решения
4.6.3 Существование обобщенного решения
Заключение
Список литературы

Глава 1 КЛАССИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ АДС 4У
Минимальное число г, при котором для АДС (7) на Т определен ЛРО, будем называть индексом пера іреиіепностпи относительно производных си< іемьі (7) (или просто индексом).
Теорема 2 [Чис96, с 12б| Пусть в системе (7) АЦ),ВЦ) є СЛ(Т). Тої да следующие предложения эквивалентны.
1) система (7) имеет на Т общее решение типа Коши;
2) на Т определены матрицы Є СА(Т), преобразующие систему
(7) в ЦКФ (8);
3) для АДС (7) на Т определен ЛРО
Замечание 1 И ? определения 8 и теоремы 1 следует, что в случае по( тянных матриц А и В для существования ЦКФ необходимо и достаточно, чтобы в системе (7) пучок матриц с А + В был регулярен. По теореме 2 в условиях регулярности пучка матриц коэффициентов для АДС (7) на Т определен ЛРО
Замечание 2. Утверждения 1) и 3) теоремы 2 остаются равносильными, если А{і),В(і) Є С ЦТ), где г - порядок ЛРО.
Решение системы (8) представимо в виде [Ганбб, Воя80|
1лавной диагонали матрицы N{t) из (8), с - произвольный вектор из Rd, Q(i) - матрицант системы y[(t)+J(t)yi{t) = а оператор F действует на достаточно гладкую вектор-функцию ф(£) по правилу
Пусть И{1) 6 СЦЦ - некоторая (т х п)-матрица Введем обозначения, которые позволят упростить запись в последующих разделах {заботы,
(П)

(12)
сhim
( Z{t) Z'{t)
(13)