Обобщенная периодическая задача нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметром

• Автор: Талалаева, Екатерина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Рязань
• Количество страниц: 124 с.

Глава I. Применение матрицанта системы линейного приближения к решению периодической задачи неавтономной системы

дифференциальных уравнений с параметром

§ 1. Представление матрицанта системы линейного приближения

§ 2. Структура решения системы (1.1) в случае, когда нелинейная часть представима в виде произведения матрицы и неизвестного
вектора
§ 3. Структура решения системы (1.1) в случае, когда нелинейная часть представима в виде суммы вектор-форм по неизвестному вектору и параметру
Глава II. Периодические решения краевой задачи неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром в случае

особого вида начального значения

§ 1. Условия существования ненулевых периодических решений

исследуемой системы дифференциальных уравнений

§ 2. Решение обобщенной периодической краевой задачи неавтономной системы дифференциальных уравнений
Глава III. Периодическая краевая задача неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром в случае, когда нелинейная часть системы представима в виде суммы вектор
форм
§ 1. Периодическое решение системы в случае, когда порядок нелинейного части выше, чем матрицы системы линейного приближения

§ 2. Периодическое решение системы в случае, когда порядок нелинейного части ниже или равен порядку матрицы системы линейного приближения
§3. Решение обобщенной периодической краевой задачи системы
дифференциальных уравнений
Заключение
Литература
Актуальность темы. В настоящей работе изучаются неавтономные нелинейные системы дифференциальных уравнений, зависящие от параметра, с переменной матрицей системы линейного приближения. Предполагается, что система обладает нулевым решением при любом значении параметра. Краевые условия задаются с помощью векторного функционала, определенного на множестве решений исходной системы. Задачей исследования является поиск условий существования ненулевых периодических решений в окрестности нулевого.
Проблема нахождения периодического решения является одной из центральных проблем качественной теории дифференциальных уравнений. Подобная задача возникает при математическом моделировании физических, химических, биологических, биофизических, экономических, социальных и других процессов [1, 2, 21, 31, 42, 49-51, 61, 70, 77, 80]. В частности, системы дифференциальных уравнений с переменной матрицей линейного приближения возникают в многоуровневой модели противоопухолевых реакций [24], в балансовых экологических уравнениях [66]. Еще большие трудности появляются при исследовании систем с дополнительно наложенными краевыми условиями. Как, например, при моделировании процесса конкуренции за питательный субстрат между гиперциклами (белковонуклеотидными комплексами), суммарная концентрация которых принята постоянной [64].
Несмотря на то, что изучению периодических решений систем дифференциальных уравнений посвящено большое количество работ, многообразие конкретных систем и значительная сложность проблемы не позволяют пока найти общего подхода к ее решению. Так, мало изученным является вопрос о построении фундаментальной матрицы системы линейного приближения в явном виде в случае, когда матрица линейной части зависит от времени.

v, = -T^lT2v2 + oOv, |) + 0(v[, v2) + -^- o(jcc|) + ö(p|X|4).
Оператор Г определим равенством
Tv, =-Тх~хТгУ2 +o(jv,|)+ 0(v,,v2) + -^-0(ja|)+ ).
Докажем, что этот оператор имеет неподвижную точку. odvi|)
1. 1ак как lim , , =0, то существует положительное число т,-+0 |v, I
8<Д-1 такое, что при любом v,, для которого [v,|<5, выполняется
4.1)
<Д. Тогда ИЫ)<ЬЦ

2. Из того, что limT,~'T2v2 =0, получаем существование такого чисv2 —*0
ла 5* >0, что для любого v2, для которого |v2|<8*, справедливо неравенство |Tj-1Z’2v2| <-|
3. Из равенства limO(v,,v2) = 0 следует, что существует 8**>0 таv2 —>0
кое, что при любом v2, где |у2|<5**, выполняется jo(v,,v2) 4. Равенство Ито(р|я,|?]=0 означает, что найдется положительное
6, такое, что при всяком р, для которого р < 5,, справедливо о(р]л.|ч Зафиксируем р:р<5,.
5. При фиксированном р выполняется равенство lim^-O^a^O. Поэтому существует такое положительное S2, что при любом а, для которого |а|<82, выполняется неравенство
Пусть 8 =min{8*,8**}. Тогда при любом v,: |v,j<8 и фиксированных v2:|v2|<8, р:р<8, и a:|a|