Об оптимальном граничном управлении процессом колебаний

• Автор: Чабакаури, Георгий Джониевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 72 с. : ил.

Глава 1. Теоремы существования и единственности
1. Смешанная задача для волнового уравнения с
нелинейным нелокальным граничным условием
2. Решение смешанной задачи для волнового уравнения в
случае свободного правого конца
Глава 2. Граничное управление процессом колебаний на
одном конце при свободном втором конце
1. Формулировка основных результатов
2. Доказательство теоремы 2.1
3. Доказательство теоремы 2.2
4. Доказательство теоремы 2.3
Глава 3. Оптимальное граничное управление процессом
колебаний
1. Постановка задачи, основные определения и
вспомогательные утверждения
2. Решение задачи о минимизации функционала Дц) на
множестве допустимых управлений
3. Рассмотрение случая 0 < Т < I
4. Рассмотрение случая I <Т <21
Глава 4. Об управлении процессом колебаний с помощью
малых по модулю граничных управлений
1. е-управляемость процесса колебаний
2. Устойчивость к малым возмущениям
Литература
Публикации автора по теме диссертации

Одномерное волновое уравнение является математической моделью большого числа физических процессов, имеющих первостепенное значение. Оно описывает колебания струны, крыла самолета, стрелы подъемного крана и многие другие процессы интересные не только с теоретической, но и с практической точки зрения. В связи с этим, большую актуальность приобретают задачи о граничном управлении процессом колебаний, который описывается волновым уравнением. Особенно важную роль в практических приложениях играет задача об успокоении процесса колебаний, т.е. задача о переводе колебательной системы из некоторого началь-1Щ ного состояния в состояние полного покоя с помощью граничного
управления.
Исследованию задач граничного управления для волнового уравнения посвящены работы многих математиков. Особенно хорошо были изучены условия, при которых процесс колебаний струны может быть переведен из одного состояния, характеризуемого начальным смещением и начальной скоростью точек струны, в некоторое наперед заданное состояние. Разработанный Ж.-Л. Лионсом в работе [1] гильбертов метод единственности (Hilbert uniqueness method) позволил исследовать не только одномерное, но и многомерное волновое уравнение.
Предметом исследований Лионса является задача граничного управления для волнового уравнения, описывающего колебания струны с закрепленным правым концом и граничным управлением на левом конце.
Uu(x,t) — uxx(x,t) = 0 в QT, (1)
u(x,0) = <р{х), Ut{x, 0) =ip(x) при 0 < х < I, (2)
«(0, t) = u(l, t) = 0 при 0 < t < Т, (3)

где <2т = [0,/] х [О,Т],ф) £ Ь2[0,1, ф{х) € Я-1!О,/], д(<) 6 Ь2[0,Т], а и(х, <) является обобщенным решением.
Задача заключается в нахождении такого ц(£) е £/2[0, Т"], которое переводит процесс колебаний из начального состояния {(р(х),ф{х)} в наперед заданное конечное состояние {1р1(х),ф1(х)} за время Т. Таким образом, необходимо найти д(4) е Ь2[0,Т], для которого выполнялись бы равенства:
и{х,Т-,ц) =1рт. (х),щ(х,Т;ц) = ф{х), (4)
где <рх(х) 6 Ь2О, I], фх{х) € Н~1 [0, г].
В работе [1] было показано, что при Т > 21 задача (4) разрешима для любого конечного состояния {ф1{х),ф{х)}.
В работе [2] гильбертов метод единственности был распространен на случай квазилинейного волнового уравнения с асимтотиче-ски линейной нелинейностью. Частным случаем этой задачи является задача граничного управления для телеграфного уравнения.
Таким образом, метод Лионса оказался достаточно удобным инструментом для доказательства существования решения задачи о граничном управлении процессом колебаний.
В работе [3] задача граничного управления исследуется с помощью метода Фурье и метода моментов, который применен для построения искомого граничного управления в виде ряда Фурье, а в работе [4] для конструктивного решения задачи используется метод падающих и отраженных волн.
Конструктивному решению задачи о граничном управлении процессом колебаний посвящены также работы [5] и [6], в которых построены эффективные численные алгоритмы построения искомого граничного управления. Работа [5] основана на использовании конечномерной аппроксимации задачи граничного управления, а работа [6] использует метод Фурье. Отметим однако, что обе эти работы существенно опираются на развитый Лионсом гильбертов метод единственности.
Исчерпывающее решение задачи о граничном управлении процессом колебаний струны с закрепленным правым концом было получено В.А. Ильиным в работе [7]. В работе [8] В.А. Ильиным
в которое это управление переводит процесс колебаний за время {= Т:
Лг(/і) = ц),щ{х,Т; р)}.
Таким образом, сформулированную выше задачу о минимизации функционала Ф(р) можно эквивалентным образом образом переформулировать в терминах введенного нами оператора: 7(р)
|АтР - у\Ъ —♦ іпї
Заметим теперь, что соотношения (100)-(102) задают область значений оператора Ат, а формулы (73) и (74) задают обратный оператор, переводящий пару функций из множества конечных состояний в функцию из множества допустимых управлений. Знание структуры области значений оператора Ат и знание явного аналитического вида оператора позволяют полностью решить задаг чу об оптимальном граничном управлении процессом колебаний. Эта задача может быть сведена к задаче о минимизации квадратичного функционала на множестве конечных состояний системы. Рассмотрим следующую задачу:
]{ь) = ||ц - v1\ïi —► Ш , (106)
і>€£/т
где VI = {‘Рі(.х),‘фі(х)} Є 77, а 11т есть множество всевозможных конечных состояний системы, которое, в силу замечания 3.2, определяется соотношениями (100)-(102) из Теоремы 3.1.
Теорема 3.2.
1) Существует единственное управление д»(і) из множества допустимых управлений М, на котором достигается точная нижняя грань функционала (104) на М.
2) Существует единственный элемент V, = {ірт(х),ф,{х)} из множества конечных состояний и, на котором достигается точная нижняя грань функционала (106) на множестве и.
3) и(х,Т; д,) = <р,{х), щ(х,Т; д*) = -ф,(х), где и(х,Ц р.,) — решение смешанной задачи I, соответствующее управлению р,(і).
і) д(р.) = |К - ШІ&, где = {<рі(х),фі(х)}.
Доказательство