Новые варианты характеристических задач для псевдопараболических уравнений

• Автор: Уткина, Елена Анатольевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 140 с.

ГЛАВА 1. О задаче Гурса
§ 1. Уравнение третьего порядка
1.1. Вывод формулы решения
1.2. О решении в квадратурах
§ 2. Уравнение четвертого порядка
2.1. Формулы решения
2.2. Частные случаи
§ 3. Уравнение высокого порядка
ГЛАВА 2. Характеристические задачи типа г,
§ 4. Задачи для уравнения (1)
§ 5. Уравнение четвертого порядка
ГЛАВА 3. Задачи с нормальными производными высокого порядка
§ 6. Задачи типа Г„ для уравнения третьего порядка
§ 7. Аналогичные задачи для уравнения (2)
Литература

Работа посвящена исследованию характеристических задач для уравнений
Ь(и) 5 + аиуд. + Ъи^ + сих + сШу + еи= 0 (1)

Щ = »щу + «21 «хху + «12«ЧУ + «11 Щу + «2»“« +
+ «02«,у + «10«* + »01«;, + «00«
где (х,у) - декартовы координаты, а коэффициенты удовлетворяют определенным условиям гладкости.
К видам (1) - (2) относятся уравнения Адлера и, = (аих + Ьия)х
и Буссинеска
“шх -щ + щ* = 0.
Первое из них встречается при изучении процесса поглощения влаги корнями растений [31], [22, с. 261-262], а второе описывает продольные волны в тонком упругом стержне с учетом эффектов поперечной инерции [26, формула (20)].
Обсуждаемые уравнения исследовались в статьях У. Кшшеи’а и М. 81ес'пега [24], М.Х. Шханукова и А.П. Солдатова [31], [32], [26], О.М. Джо-хадзе [8]. В частности, в этих работах получено решение задачи Гурса, которую можно считать основной характеристической задачей. Областью определения решения в этой задаче является прямоугольник О = |т0 <х <хь У о < У к л} > а ГР314®16 условия Гурса (например, для уравнения (1)) имеют вид
фо,у) = <р(А Ф*оФ = <Ф)> ФлЬФ) (3)

Для построения решения авторы развивают классический метод Римана, хорошо известный [1J, [2J, [27J, [3], [4] для уравнения
+ а(х, у)их + b(x,y)uy + с(х,у)и = 0. (4)
При этом, например, для уравнения (1) функция Римана V(x,y;Ç,rj) определяется [32] тоже как решение задачи Гурса:
С(У)- ^ -(aV)B -(ЬУ)ч + (cV)x + {dV)y-eV = 0, (5)
v Lf = 0> ^ U = exp(l v =
В свою очередь oj(x, rj) есть решение задачи Коши:
û)x, - b(x, ц)(ох + dix, tj)co = 0,
x(£t]) = l. (6)
Доказаны существование и единственность К. Вопрос о явном построении функции Римана указанными авторами не рассматривался. Отметим еще, что А.П.Солдатов и М.Х.Шхануков [26] распространили этот способ на случай аналогичного (I) - (2) уравнения высокого порядка со старшей производной
дхтду".
В предлагаемой диссертации функция Римана V для уравнения (1) вводится иначе: как решение интегрального уравнения
V(x,y)-~] а(х,t)V(x,r)dr-J b{t,y)-(x-t)d(t,ytyit,y)dt +
" х у * СП
+ ] J [с(/, ?)~{х- t)e(t, r)]v(t, т) = 1.
{ п
Решение уравнения (7) существует и единственно [16, с. 154, 164]. Изменяется и сама схема получения решения. Следовательно, можно говорить о новом варианте решения задачи Гурса. Вывод формулы решения существенно опирается на тождество
0Г‘О;-}(у)+ I (-1 ГяА***ОГ'ВГ'(а1фг) +
О £а+р<т+п 1<а,)%р
0£а+Р<т+п
1>а
или ]>р
Положим £ = х, ц = у, тогда
ог‘о;г'и(х,у-х,у) + I (-1 Г^ОГВ^(аа/р,у) = 0.
0 <,а+р<т+п И^а,]<>р
Если г = 0, то
0?д;-'(*О+ I (-1Г"-(й+^<'(^к)+
0^а+/б + £ (_!)
О^а+Дси+и

Полагая г; = >',
П“о;-;(Е)(^;х,у)+ I (-1Г”-^О“^(аа^у) = 0.
0<а+/9 Аналогично, если / = 0, полагая | = х, получим
ВГ0;(Г)(^;г,у)+ Е (-1Г^^ОГ^(ао/-)(х,^) = 0.
0£ог+/?<»г+и
0^а,0<р
Поэтому,
1 I Е 0,.мА&п)Л¥^ -Е «1.. и,(•»%>’«)- I 0-и-1;у(ХО^) +
% X. о«+у<»1 и е1
0<3+У<«+1 0 х у т
+ Е й-1,у-1;у(Л0)^о)_ 1 Е 0Оо-1;и(^>^о)-I Е Qi-l,0;i,j(X0’T!)dTl■
Ш ха (=0 у„ <-и«о
;г1 х*1
0 Следовательно,