Обобщение теоремы Ильяшенко о нулях абелевых интегралов

• Автор: Пушкарь, Ирина Аскольдовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 96 с.

Оглавление
Введение
1. Формулировки основных результатов, расположение материала
1.1. Полиномы с невырожденной старшей однородной частью И функции Ф^ И Фа*-!
1.2. Комплексные теоремы
1.3. Вещественные теоремы
1.4. Приложения
1.5. О доказательстве теоремы 1.
1.6. О доказательстве теоремы 1.
1.7. О доказательстве теоремы 1.
1.8. О доказательстве теорем 1.4 и 1.
2. Теоремы об абелевых интегралах (случай дифференциальных форм с полиномиальными коэффициентами ограниченной степени)
2.1. Топология гиперповерхности
2.2. Разрешение особенностей дискриминанта
2.3. Группы монодромии
2.4. Локальная теорема Зарисского и группа монодромии .
2.5. Следствия теории де Рама-Ходжа
2.6. Исследование полюсов
2.7. Доказательство комплексного варианта основной теоремы
2.8. Завершение доказательства основной теоремы
2.9. Доказательство следствия
3. Теоремы об абелевых интегралах (без дополнительных ограничений на степени коэффициентов дифференциальных форм)
3.1. Теоремы об абелевых интегралах в комплексной области
3.2. Теоремы о вещественнных интегралах
3.3. Разложение для однородного многочлена

3.4. Разложение для неоднородного многочлена
3.5. Аналитическая кривая
3.6. Нули вещественных абелевых интегралов
Приложение
Литература

Введение
Тема данной диссертации относится к кругу вопросов, тесно связанных с 16-й проблемой Гильберта:
Сколько предельных циклов может иметь полиномиальное векторное поле степени п на плоскости?
16-я проблема Гильберта — одна из до сих пор нерешенных проблем, поставленных Гильбертом. Ей и вопросам, связанным с ней, посвящено очень много работ. Мы упомянем только некоторые из них.
В начале века Дюлак доказал, что для одного полиномиального векторного поля на плоскости число предельных циклов конечно. В 80-х годах Ю.С. Ильяшенко нашел в доказательстве Дюлака существенный пробел, связанный с существованием плоских возмущений. Этот пробел был устранен Ильяшенко и, независимо, Экалем.
С проблемой Гильберта связана еще одна ошибочная, но содержательная работа И.Г. Петровского и Е.М. Ландиса [6], которая была опровергнута Ю.С. Ильяшенко и С.П. Новиковым, но на этот раз пробел оказался неустранимым: Ю.С. Ильяшенко [3] привел контрпример к теореме Петровского и Ландиса. Тем не менее, эта работа оказала огромное влияние на развитие этой области математики: идея выхода в комплексную область и сегодня играет ключевую роль в работах, связанных с оценкой числа предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости.
Замечательным упрощением вопроса Гильберта является так называемая инфинитезимальная проблема Гильберта, сформулированная В.И. Арнольдом (см. также работу Ю.С. Ильяшенко [4]). Сколько предельных циклов может иметь полиномиальное векторное поле, близкое к гамильтонову? Инфинитезимальная проблема Гильберта — это линеаризация этого вопроса в окрестности гамильтоновых векторных полей. Опишем эту линеаризацию более подробно. Пусть и> = Рдх + С^сіу — 1-форма на плоскости. Рассмотрим интеграл J этой формы по компактной компоненте линии уровня Н — с функции Н. На интервале изменения параметра с, при котором не меняется контур интегрирования, функция С является функцией параметра с. Согласно классическому результату Пуанкаре и Понтрягина [7], ли-

3. Теоремы об абелевых интегралах (без
дополнительных ограничении на степени коэффициентов дифференциальных форм)
3.1. Теоремы об абелевых интегралах в комплексной области
Числа М(п,т,к) и S(n,q,k). Для j = 0,1,... рассмотрим в к-мерном пространстве куб Kj(n,k), определённый неравенствами
nj < Х < nj + п — 0 < Хі < п — 2, і — 2,..., к. Обозначим
через К(п,к) объединение всех кубов Kj(n, к). По определению число М(п,т,к) равно количеству целых точек множества К(п,к), удовлетворяющих неравенству
Для плоскости, т.е. при к = 2, множество К(п,к) состоит из квадратов с целочисленными вершинами и сторонами длины (п — 2), параллельными координатным осям. Каждый из этих квадратов лежит в положительном октанте ад > 0, ад > 0, причем одна из сторон каждого квадрата лежит на оси ад. Левая нижняя вершина первого квадрата — начало координат. Расстояние между соседними квадратами равно 2. Число М(п. т. 2) равно числу целых точек в объединении построенных квадратов, лежащих на прямой ад + ад = т и под ней.
По определению число 5(п,5, &) равно количеству целых точек куба К0(п,к), лежащих на гиперплоскости
Очевидно, что при £ > &(п - 1) и g < 0 при число S(n,q,k) равно нулю.

Xi = і-