Внешняя задача Дирихле для эллиптических уравнений с постоянными коэффициентами

• Автор: Алиханян, Рафаэль Асканазович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ереван
• Количество страниц: 86 c. : ил

ВВ ЕДЕНИЕ

Глава I. ВНЕШНЯЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ I. Оценки некоторых интегральных операторов

§ 2. Внешняя задача Дирихле для правильно эллиптического уравнения второго порядка в бесконечной многосвязной области в гельдеровых классах
§ 3. Внешняя задача Дирихле с данными из для эллиптического уравнения второго порядка

§ 4. Внешняя задача Дирихле с данными из для

слабо связанных эллиптических систем второго порядка

§ 5. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в бесконечной плоской многосвязной области при наличии условий сопряжения

Глава II. ВНЕШНЯЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИИ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

§ I. Общее решение однородного эллиптического уравнения порядка 2т. в бесконечной области
§ 2. Общее решение слабо связанных эллиптичеоких систем уравнений высшего порядка в бесконечной области
§ 3. Внешняя задача Дирихле для эллиптических уравнений порядка 2т
§ 4. Задача Дирихле для эллиптических уравнений высшего порядка в бесконечной области, ограниченной эллипсом
ЛИТЕРАТУРА

1°. Настоящая диссертационная работа посвящена изучению внешней задачи Дирихле для правильно эллиптических систем
II Я» -Д " „ ~ о, (1)
к.--о ох Эу с граничными условиями
Эк.

Э ггк
=• ^ , к.= 0, га-1, (2)
где Л«, - квадратные матрицы с постоянными комплексными элементами, 0. - бесконечная область (с ограниченным дополнением) с достаточно гладкой границей Г, и = (и1?иЛ) - искомая, а
заданные вектор-функции из класса Н** * *(Г), и- внутренняя по отношению к области й" нормаль к Г. Н“(Г) -класс функций, производные которых до к-го порядка включительно удовлетворяют условию Гельдера на Г. При пг=1 рассматривается также случай, когда граничные данные принадлежат классу
АДг).
В окрестности бесконечности на искомое решение накладывается условие
|и! * М 1х1П1"1, М= сопв^О. (3)
С исторической точки зрения возникновение задачи Дирихле связано со следующей проблемой: требуется найти функцию,гармоническую в некоторой области, непрерывную в замыкании этой области и совпадающую на границе с заданной непрерывной функцией.
Частично ответ на этот вопрос был дан Пуассоном в 1825г., доказавшим существование единственного решения поставленной за-

дачи в случае, когда граница Г является сферой или окружностью.
Тем не менее в общем случае, когда Г является произвольной гладкой границей, решить задачу долго не удавалось, несмотря на усилия многих математиков /2, 53/. Лишь в начале XX века окончательное решение было получено Фредгольмом в его фундаментальной работе об интегральных уравнениях. Ему удалось получить представление решения, используя потенциалы /55/.
Основополагающие результаты в теории эллиптических уравнений с двумя независимыми переменными принадлежат И.Н.Векуа. Он получил формулы, выражающие все регулярные решения уравнения (с аналитическими коэффициентами)
через аналитические функции одного комплексного переменного в односвязных и многосвязных областях и провел исчерпывающее исследование задачи Дирихле и общих граничных задач (с данными из С и Н ) для этого уравнения. Эти задачи были сведены к эквивалентным сингулярным интегральным уравнениям с помощью найденных им интегральных представлений аналитических функций и получены условия нетеровости.
И.Н.Векуа получено также общее представление (в односвязной области) решения уравнения
где ссРЯ,(эс,у)— аналитические функции действительных переменных х и у и с помощью этого представления исследована задача Дирихле. Эти результаты изложены в его монографии /II/.
Фундаментальным вкладом в теорию граничных задач для систем дифференциальных уравнений эллиптического типа являются работы
А.В.Бицадзе /4-8/. В работе /4/ построено общее решение эллипди + аих+ биу + Си

Ч-.СЙ - - Ш - - с,(Ща.**) + (1<79)
+ с?! ЬгД + Сг _ С6 = Р3(г) + I(1з, 1г1<1-
£ [^'(г)г - г0г ^(гД) + с4] + 2 Ч, (г) +
+ *£!?■ №*«*.. '*'-1- (1.80)
Повторяя предыдущие рассуждения, из условий (1.68), (1.70) и (1.72) получим следующие уравнения в круге 1гН 1;
%(г.г) + х№) + сЛг +СЧ *Р2(?) + 1С(.г , (1.81)
*№) + " ^(а^сй) " ^(?) +С5&г(а0-2) +
+ с3(лИ + сч - С6 = РДг) + 1с1^, (1.82)
г[».'(й* -ЧУ(^) г.» ♦ <:,} * ^ ч-
+ %'(?)* + у~ = Р6(г) + 1с16. (1.83)
В уравнениях (1.79) - (1.83) , <|‘=2/Ь - произвольные
действительные постоянные, а а0 = 2а/И.
Полагая в уравнениях (1.78) - (1.83) Д = 0 и имея в виду, что ^-(0) =^(0) = 0, ЗщРд(0)=0, получим