Проекционно-итеративные методы решения интегральных и дифференциальных уравнений

• Автор: Лучка, Антон Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 336 c. : ил

Многие задачи естествознания и техники сводятся к решению различных классов дифференциальных, интегральных , интегро-диффе-ренциальных, дифференциально-функциональных уравнений и их систем. В настоящее время существуют разнообразные методы качественного исследования и построения решений таких уравнений. Однако их наличие не исключает возможности создания новых , более эффективных методов и усовершенствования существующих . Среди обширного КОЛИ-чества приближенных методов ярко выделяются итерационные, асимптотические и прямые методы. К последним относятся широко используемые в вычислительной практике разностные методы , а также вариационные и проекционные методы.
Основным представителем итерационных методов является обычный метод последовательных приближений , который возник уже дав -но. Он встречается в исследованиях Ж. Лиувилля [286] по теории дифференциальных уравнений и применялся К. Нейманом [291] к задачам теории потенциала. С точки зрения функционального анализа метод последовательных приближений укладывается в общую схему и приводит к принципу сжатых отображений , который впервые сформу -лировали С. Банах [280]в 1922 году и Р. Каччиопполи [285]. Идея метода последовательных приближений применительно к уравнению

Л = £ + Тх , (I )

где Т - линейный ограниченный оператор, действующий в банахо -вом пространстве X , заключается в том , что приближения к искомому решению определяются по формуле

7 к=1,£03 ^6 X . (2)

Вопрос о сходимости метода (2) тесно связан со сходимостью ряда

1 + 7Ч... + Т*-*... ,

необходимым и достаточным условием сходимости которого является соблюдение неравенства

r(T)— Urn У || Г*I <

* +-°°
Метод последовательных приближений успешно применяется и к нелинейным уравнениям л=Тх$ где Т - оператор сжатия. В случае , когда последнее условие не соблюдается , часто применяется принцип К. Шаудера [299]о неподвижной точке. Благодаря работам многих ученых принцип сжатых отображений и принцип неподвижной точки явились мощным средством исследования задач математической физики . Из многочисленных работ , посвященных этому вопросу, отметим глубокие работы Б.В. Немыцкого [203], А.Н. Тихонова [300],
I. Лере [127], Ю. Шаудера [127], М.А. Красносельского [97,99,100], П.П. Забрейко [100], Л. Коллатца [93], Ф. Браудера [281,284],
Г. Минти [288,289], Ж.-Л. Лионса [128]и В.В. Петришина [284, 296].
В математической физике , в частности в теории колебаний,широкое применение получил асимптотический метод Крылова-Боголюбо-ва-Митропольского. Этому методу посвящена обширная литература как советских , так и зарубежных ученых. Основы метода заложены в фундаментальных трудах Н.М. Крылова , H.H. Боголюбова и Ю.А. Митропольского [17,18,188,190,191,192], а дальнейшее развитие метод получил в исследованиях их учеников и последователей, в частности , в работах А.М. Самойленко [18,239,242], О.Б. Лыковой [190], Б.й. Моисеенкова [191], Е.А. Гребеникова и Ю.А. Рябова [49-51],
Д.И. Мартынюка [181,182, 189,192] и других авторов. Для построе -ния периодических решений дифференциальных уравнений применяются известные эффективные численно-аналитический метод А.М.Самойленко [235-238,240,241] и метод малого параметра Ю.А. Рябова [220-225].

Разностные методы широко используются в вычислительной практике, отличаются простотой вычислительных схем и удобством их реализации на ЭВМ. Им посвящены многочисленные работы , в том числе фундаментальные монографии A.A. Самарского [230], A.A. Самарского и A.B. Гулина [231] , A.A. Самарского и Ю.П. Попова [232], A.A.Самарского и В.Б. Андреева [233], A.A. Самарского и Е.С. Николаева [234], Г.И. Марчука [185], Н.С. Бахвалова [14], С.К. Годунова и
B.C. Рябенького [47], H.H. Яненко[278], И.И. Ляшко , В.Л.Макарова и A.A. Скоробагатько[171]. Заслуживают внимания исследования по теории разностных схем A.A. Самарского [118,174,175], В.Л. Макарова [118-120,172-177] и других авторов , а также работы А.А.Абра-мова[2,3], С.К. Годунова [46], В.Е. Шаманского [276,277],!.-П.Обэ-на [206]по разработке численных методов решения краевых задач.
вариационные и проекционные методы, частными случаями которых являются метод Ритца , метод наименьших квадратов , метод Бубно-ва-Галеркина и метод моментов , возникли и развивались в связи с потребностью нахождения экстремумов функционалов и решения краевых задач. Вариационный метод был предложен В. Ритцем [297,298] (1908). Идеи проекционных методов содержатся в работах И.Г. Буб-нова[19](1913) и Б.Г. Галеркина [45](I915)• Существенный вклад в обоснование и развитие вариационных и проекционных методов реше -ния уравнений математической физики [36 , 116 , 246 , 265,266] внесли советские ученые , в том числе Н.М. Крылов [103-105], H.Н.Боголюбов [15,16], М.ф. Кравчук [95], М.Б. Келдыш[90].
Суть проекционных методов состоит в том , что исходное уравнение
4jc — f, хе X , f€ У, (3)
заменяется более простым уравнением
рял*л-ряг , w

В работе [157 , § 4]приводятся другие достаточные условия сходимости и оценки погрешности проекционно-итеративного метода в гильбертовом пространстве.
6. Нестационарный проекционно-итеративный метод
Пусть - последовательность подпространств, которые обладают свойством Х()ср X^ , к~ ... , и В^
оператор проектирования / на . Суть нестационарного варианта метода состоит в том , что последовательные приближения реше -ния искомого уравнения (2.1) строим при помощи формул
+ еХо’ (2-66)
Р1(?Г**>тв’ (2-67)
Как и в стационарном методе , в каждой итерации поправка й^, определяется из уравнения
Обоснование метода дано в нашей работе [157 , § б], а поэтому подробно на этом вопросе здесь мы не останавливаемся. Отметим лишь следующие условия сходимости для случая , когда Х= Н - гильбертово пространство и - операторы ортогонального проектирования.
Теорема 2.3. Если у<1 , то уравнение <Х= 7+7#
при каждом £€ Н имеет единственное решение /У и справедливы оценки
і7С р*'11 ак_$х* і*, (2.68)
II ^ 2*1 • (2-69^
Если , кроме ТОГО , ід~*~ I сильно в Н , то X* при