Обобщение метода характеристик Коши для построения численно-аналитических методов решения задач синтеза оптимального управления

• Автор: Егоров, Иван Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 181 с. : ил.

Содержание
Введение
Обзор литературы
Глава 1. Метод синтеза оптимального управления в задачах без особых режимов и с не более чем одним переключением
1.1. Постановка задачи
1.2. Описание метода
1.3. Математическая модель терапии лейкоза
Глава 2. Синтез оптимального управления в математической модели терапии злокачественной опухоли с учетом реакции иммунной системы
2.1. Постановка задачи
2.2. Исследование системы принципом максимума Понтрягина
2.3. Вспомогательные оценки
2.4. Синтез оптимального управления
2.5. Результаты численного моделирования
Глава 3. Метод синтеза оптимального управления в задачах с особыми характеристиками и гладкие решения уравнения Га-мильтона-Якоби-Беллмана
3.1. Постановка задачи
3.2. Описание метода
3.3. Математическая модель терапии вирусных инфекций
3.4. Гладкие решения уравнения ГЯБ
Глава 4. Оценка альтернативных стратегий управления системами с асимптотически устойчивыми положениями равновесия

4.1. Пример
4.2. Общий случай
4.3. Результаты численного моделирования
Заключение
Литература
Приложение А. Специальные примеры
Приложение Б. Вспомогательные определения и классическая теорема о существовании и единственности гладкого решения задачи Коши для линейного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка
Приложение В. Доказательства некоторых утверждений и тео-

В.1. Доказательство Утверждения 1.1
В.2. Доказательство Утверждения 1.5
В.З. Доказательство Утверждения 1.6
В.4. Доказательство Утверждения 1.7
В.5. Доказательство Теоремы 1.4
В.6. Доказательство Теоремы 1.6
В.7. 0 схеме доказательства Теоремы 3.2
В.8. Доказательство Утверждения 3.3
Введение
Актуальность работы. Известно [1-7], что задача синтеза оптимального управления, т. е. отыскания оптимального закона обратной связи (позиционного, не программного управления), сводится к глобальному построению в фазовом или расширенном фазовом пространстве обобщенного решения задачи Коши для, вообще говоря, нелинейного уравнения Гамильтона-Якоби-Беллма-на (коротко — уравнения ГЯБ) в частных производных первого порядка. Среди методов сугубо вычислительного характера для решения таких задач можно выделить полулагранжевые [6, 8-12], конечно-разностные [12-19], использующие схему Ultra-Bee [20-22] и основанные на аппроксимации множеств уровня [23-30]. Их применение ограничивается следующими обстоятельствами:
• численное решение задачи Коши для уравнения ГЯБ ищется в ограниченной области фазового или расширенного фазового пространства, в то время как сама задача обычно ставится в неограниченной области, и тем самым возникает проблема корректного выбора ограниченной области для вычислений;
• близость приближенных решений задачи Коши для уравнения ГЯБ к точному решению далеко не всегда может быть обосновано той или иной теоремой о сходимости;
• с помощью методов сугубо вычислительного характера сложно получить целостное представление о геометрической картине синтеза оптимального управления, особенно для задач размерности, большей двух (в значительной степени это связано с тем, что такие методы, как правило, описываются для систем общего вида и поэтому не учитывают особенности динамики, имеющие место в конкретных классах математических моделей).
С другой стороны, если для определенного (возможно, достаточно узкого) класса задач удается задать все поверхности переключений оптимального пози-

I гт (/? — 1п т), тф О, д(т) := < (1.52)
I О, 771 = 0,
г,/3,6 — положительные константы, функция / : [/г, +оо) —> М непрерывно дифференцируема, /г — отрицательная константа, /(0) = 0 и /'{К) > 0 для любых к ф к (монотонно возрастающая функция терапии). Система (1.50) описывает модель терапии однородной твердой несосудистой опухоли. Здесь т(£) — количество опухолевых клеток в момент времени£, к(Ь) — концентрация лекарства в момент £, функция д(-) задает логистический закон (в случае (1.51)) либо закон Гомперца (в случае (1.52)) для роста опухоли. Чтобы обеспечить выполнение пунктов 4,5 Предположения 1.2, возьмем
в := {(т, Л)б12 : т < т < т, к < к < к] , К = С,
С := {(т, к) £ К2 : т<т, к <к<к} и
С" := {(т,/1) <Е К2 : т > т} в случае (1.51),
С := С и О" 0 в случае (1.52),
(1.53)

к < 0, к > —, к
(1.54)

для (1.51) т — 0 и
га > 0, 1 — — / (h) ^ О,
га > (# (i - ~/ (—))) ^ > 1 _ для (1.52) 0 < га < ехр ^/3 — —/ (7г)
га > ехр ^/
В [44-46] доказано, что в этой задаче синтез оптимального управления тривиален: Mopt = R всюду в G х [О, Т]. □
Следующее предположение является ключевым.
Предположение 1.5. Предположим, что
7о = 7о := 7о- (1-55)