Решение некоторых сингулярных задач математической теории дифракции методами Фурье и потенциалов

• Автор: Хусаинова, Эндже Джаудатовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 105 с.

Глава 1. Единственность решения сингулярных

задач дифракции с граничным условием типа четности

на характеристической части границы

§1. О некоторых частных решениях уравнения

Гельмгольца с оператором Бесселя

§2. Постановка задачи дифракции с условиями сопряжения на конечных границах раздела областей. Теорема

единственности

§3. Постановка задачи дифракции с условиями сопряжения на полубесконечных границах раздела областей. Теорема

единственности

§4. Постановка задачи дифракции с условиями сопряжения на конечных границах раздела областей с общей границей.

Теорема единственности

Глава 2. Метод потенциала в вопросах существования решения сингулярных задач дифракции с условиями сопряжения на конечных
границах раздела областей
§1. Доказательство существования решения сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на трех конечных

границах раздела областей методом потенциалов
§2. Доказательство существования решения сингулярной задачи дифракции с общей нехарактеристической границей . 51 §3. Доказательство существования решения сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на п конечных
границах раздела областей
Глава 3. О некоторых сингулярных задачах
дифракции с общей границей
§1. Решение сингулярной задачи дифракции с условиями
сопряжения на двух параллельных полупрямых
§2.Решение сингулярной задачи дифракции с условиями
сопряжения на двух полубесконечных кривых
§3. Решение сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на т концентрических полуокружностях
Литература

Явлением дифракции (от лат. — ” сй//гас£ив” — разломанный) называется поведение волн различной природы в среде или средах, имеющих границы с теми или иными свойствами. Благодаря работам Пуанкаре и Зоммерфельда в конце девятнадцатого века стало ясно, что задачи теории дифракции — суть краевые задачи математической физики. Необходимость изучения таких задач обусловлена многочисленными их приложениями в физике, механике сплошных сред, геофизике, океанографии, медицине и др.(см., например, [37], [40]).
В приложениях также могут возникать задачи дифракции для уравнения Гельмгольца с оператором Бесселя, которые в дальнейшем и назовем сингулярными задачами дифракции. Например, осесимметрическая задача дифракции является частным случаем сингулярных задач дифракции.
Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с конечной границей хорошо изучены. Гораздо меньше изучены краевые задачи в областях с бесконечной границей. Это объясняется тем, что в этом случае методы теории потенциалов и Фурье сводят краевые задачи для эллиптических уравнений соответственно к интегральным уравнениям типа свертки и системам линейных алгебраических уравнений с бесконечным числом неизвестных, являющимися дискретными

АвЩ(х) + \и^{х)
(2.28)
соответственно в областях Т^ и Т^ четны по ж3. на удовлетворяют однородным условиям сопряжения
(2.29)
а функция и$(х) на бесконечности условиям излучения
У |Д3|2^Л = 0(1),
(2.30)
Задача (2.28)—(2.30) представляет собой задачу дифракции с коэффициентами А2 = <*'•/?'■, где а'- = 1, /?'■ = аф], ] = 3,4. В силу единственности решения сингулярной задачи дифракции, Щ(х) = О в и Щ(х) = 0 в £3+ и, следовательно, щ'(х) = 0 в и Щг(х) = О в ^ . Отсюда и из равенств (2.22) — (2.25) следует,
что 7*5 (Со) ^Ои 7б(Со) = 0.
Аналогично, доказываем, что 7з — 0 и Щ = 0. Для этого достаточно рассмотреть функцию Щ в области Т, ограниченной поверхностью Д2) и плоскостью жз = 0, а функцию щ в области Т) = Ео Т.
Таким образом, однородная система (2.13о) имеет только тривиальное решение. Согласно альтернативе Фредгольма, неоднородная система (2.13) однозначно разрешима, тем самым однозначно разрешима и поставленная задача.