Возмущенные включения и функционально-дифференциальные включения

• Автор: Григоренко, Анна Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Тамбов
• Количество страниц: 108 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Основные обозначения

Введение

Глава 1. Предварительные сведения

§1.1. Обозначения и некоторые сведения из функционального анализа и топологии

§1.2. Некоторые сведения из теории многозначных

отображений

§1.3. Свойства выпуклых по переключению (разложимых) множеств

Глава 2. Возмущение компактнозначного отображения многозначным отображением типа Гаммерштейна с невыпуклыми образами

§2.1. Возмущение линейной краевой задачи для функционально -

дифференциальных уравнений
§2.2. Существование и оценки близости решений возмущенного
включения к наперед заданным функциям
§2.3. Квазирешения и принцип плотности
§2.4. "Бэнг - бэнг" принцип
§2.5. Возмущенное включение с внешними возмущениями
Глава 3. Применение теории возмущенных включений к дифференциальным включениям
§3.1. Функционально-дифференциальные включения
§3.2. Дифференциальные включения с многозначным оператором
Немыцкого
§3.2.Возмущенные функционально - дифференциальные включения
Литература

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Основные определения и некоторые обозначения содержатся также в Главе 1.
АП В - пересечение множеств А и В А С В - А подмножество В а £ А - а принадлежит А
А х В - декартово произведение множеств А и В
А + В - сумма множеств А и В
2Л - множество всех подмножеств множества А
Вх[х,г] - открытый шар в метрическом пространстве X с центром в точке х и радиусом г > О Ае - замкнутая е - окрестность множества А 0 - пустое множество
F(-,s) - s фиксировано и F рассматривается как функция лишь первого аргумента
F(t, •) - t фиксировано и F рассматривается как функция лишь второго аргумента
Рх{•> •) - расстояние в метрическом пространстве X и расстояние между точкой и множеством в этом пространстве p(v) =
hx [' ? •] - расстояние по Хаусдорфу в метрическом пространстве X
Mv] = %"[•,']
А - замыкание подмножества А в метрическом пространстве X Г2(А) - множество всех непустых, ограниченных, замкнутых, выпуклых подмножеств линейного метрического пространства X со А - выпуклая оболочка множества А, со А = со А ext А - множество крайних точек множества A, extA = ext А Мп - пространство n-мерных вещественных вектор-столбцов х, х = со1{ж1,..., xn}, Xi £ R, г = 1, 2,..., п с нормой | • | comp[Rn] - множество всех непустых, компактных подмножеств пространства Мп
К’,хп - пространство всех квадратных п х гг матриц с согласованной с пространством Е нормой | • |
LП{Ы) - пространство суммируемых по Лебегу функций х : U —t К" (U С [о, 6] - измеримое по Лебегу множество, ц(Ы) > 0, ц(-) - мера Лебега) с нормой

и отношением полуупорядоченности х ^ у, если х{р) ^ у(£) при почти всех Ь € [а, Ъ}
Ь^_[а, 6] - конус неотрицательных функций пространства Ь 1[а,Ъ]
П[Ъп[а, 6]] - множество всех непустых, замкнутых, ограниченных, выпуклых по переключению подмножеств пространства Ь"[а,6]
£}(П[Ьп[а, 6]]) - множество всех непустых, выпуклых, замкнутых, ограниченных и выпуклых по переключению подмножеств пространства
Оп[а, Ъ] - пространство абсолютно непрерывных функций х : [а, 6] —» —» Мп с нормой
Сп[а,Ь] - пространство непрерывных функций х : [а, 6] —> Мп с нормой 1И1с"[а,4] = гаах{|а:(£)| : £ € [а, 6]}
и отношением полуупорядоченности х ^ у, если х(Ь) ^ у({) при всех £ € [а, 6]
С+[а, 6] - конус неотрицательных функций пространства С1 [о., 6]
||А||х = БирЦаЦх, где А - подмножество нормированного пространства
Ща,Ь}.

1ИН = 1И1|кп! гДе А - подмножество пространства Еп

то он переводит каждую слабо сходящуюся последовательность в слабо сходящуюся . Поэтому в силу представления
Gf = A~(Gf) + (Gf)(a),
где / G Ln[a, 6], достаточно доказать, что если последовательность /;(G Ln[a, 6]), i = 1,2,... слабо сходится к функции /0 ( G Ln[a, 6] ) в пространстве L"[a, b] при г —» оо, то Л/* —> Л/о в пространстве С”[а, 6] при г —> оо, где Л - оператор интегрирования. Докажем это. Пусть е > 0. Поскольку последовательность fi, г = 1,2,... слабо сходится в L"[a,6], то она имеет равностепенно абсолютно непрерывные интегралы (см. [§1.1; 10]). Это означает, что найдется такое <5(е) > 0, что для любого измеримого множества е С [а, 6], удовлетворяющего неравенству fie < S(s), для любого i — 0,1,2,... выполняется оценка

| Ms)ds<£. (2.1.10)
Разобьем отрезок [а, 6] на т равных по мере частей точками
а = *5*<С <...<С-1<С*Ь.
удовлетворяющих неравенству Ь+1 — Ь < <5 (е), j = 0,1,... ,т — 1. Так как последовательность Л/, —> Л/о слабо в пространстве С"[а, 6] при i —> оо (см.[§1. то найдется такой номер /(е), что при всех
г > 1(е) и всех j = 1,... ,т выполняется оценка
1(Л/;)(*Л - (Л/о)(^т)| < е. (2.1.11)
Далее, пусть I 6 [а, Ъ]. Это означает, что £ Е //, ?р+1] при некотором 3 = 0,1,..., тп — 1. Поэтому из оценок (2.1.10),(2.1.11) для любого г ^ 1(е) получаем соотношения
i *•*
I(Л/г)С0 - (Л/о)(<)| ^ | J (/t(s) - fo{s))ds + I j (fi(s) - /o(s))ds|

J .fi(s)ds + J |/o(s)| ds + | J (fi{s) - fo{s)) ds

^ J |/г(з)|^ + J Ms)ds+ I (Мв) - Ms))ds < Зе.

Это означает, что Л/, —> Л/о в пространстве С"[а, Ь при i —> оо. Лемма доказана.