Предельные циклы возмущенного центра квадратичного векторного поля на плоскости

• Автор: Фишкин, Алексей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 96 с.

Оглавление
Введение

1 О числе изолированных нулей у возмущения аналитической функции

1.1 Определения и формулировка теоремы об оценке числа нулей

1.2 Теорема Эрве и свойства идеалов кольца ростков голоморфных функций

1.3 Доказательство теоремы об оценке числа нулей

2 Оценка числа предельных циклов у квадратичных векторных полей, близких к центрам

2.1 Квадратичные векторные поля и их предельные циклы

2.2 Переход к отображению Пуанкаре

2.3 Оценка числа нулей невязки отображения Пуанкаре

2.4 Доказательство основной теоремы 2 по модулю вспомогательных утверждений

2.5 Доказательство леммы

2.6 Доказательство леммы
Построение отмеченного полидиска
Константа роста для идеала Баутина /Д£) в образующих Дю-
лака
Константа роста для идеала Баутина /Д£) в канонических
образующих
2.7 Теорема Ильяшенко-Ллибре для уравнения в комплексной нормальной форме
2.8 Доказательство теоремы
Связь параметров д, а и к в разных нормальных формах
Теорема Ильяшенко-Ллибре в нормальной форме Каптейна
2.9 Доказательство предложения
2.10 Доказательство теоремы
Приложение. Компьютерные вычисления, использованные в работе

Введение
Полиномиальное векторное поле на плоскости задается системой дифференциальных уравнений
х = Р(х,у), y = Q(x,y), (1)
где (х, у) £ 3R2, а Р(х, у) и Q(x, у) — многочлены. Его предельным циклом называется изолированная замкнутая траектория, гомеоморфная окружности. Во второй части 16-й проблемы Гильберта поставлены следующие вопросы (см. [И]):
(ql) Можно ли оценить число предельных циклов любого полиномиального векторного поля на плоскости величиной Н(п), зависящей только от п — наибольшей из степеней многочленов Р и Q?
(q2) Если ответ на первый вопрос положителен, то оценить сверху Н(п).
Эта проблема была сформулирована Гильбертом в 1900 г. в докладе на 11-ом Международном конгрессе математиков. С тех пор 16-й проблеме Гильберта были посвящены многие замечательные исследования, получены важные результаты, разработаны новые методы и разделы теории дифференциальных уравнений, однако сформулированные выше вопросы до сих пор открыты даже для простейшего класса квадратичных (т.е. полиномиальных
Выбор отрезка К. Пусть а(А) — абсцисса точки пересечения самого внешнего 5-хорошего предельного цикла векторного поля (2д) (обозначим этот цикл через Ь) с положительной полуосью Ох. Значение а(А) определено, поскольку мы полагаем, что множество 5-хороших предельных циклов этого векторного поля не пусто. Положим К — [0,а(А)]. По определению, К пересекается со всеми 5-хорошим и предельными циклами поля (2д). Отрезок К обладает следующим свойством:
Лемма 1. Отображение Р(х) определено на всем отрезке К.
Доказательство. Внутри области, ограниченной циклом Ь, нет других особых точек векторного поля (2д), кроме начала координат. По теореме Пуанкаре-Бендиксона, ш-предельиое множество любой точки ж из К — это либо начало координат (то есть, фокус), либо предельный цикл, обходящий начало координат. В обоих случаях траектория точки х бесконечно много раз пересекает ось Ох. Значит, существует и точка первого пересечения этой траектории с осыо Ох, и тем самым, отображение Р(х) определено на всем отрезке К. □
Сформулируем две основные леммы, позволяющие применить теорему 7 к оценке числа нулей функции Р(х) на отрезке К.
Лемма 2. Функция 7Д(х) аналитически продолоісается в ІІЄ(К) х ДШ(А) и не превосходит там по абсолютной величине 2/5.
Лемма 3. Пусть £єЕиО Д < рі< 1000/Д, и при этом выполняются следующие свойства: