Обобщение метода регуляризации для операторов с особенностями спектра

• Автор: Бободжанов, Абдухафиз Абдурасулович.
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 155 c. : ил

ГЛАВА I. РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ С КРАТНЫМ СПЕКТРОМ 20 § I. Формализм метода регуляризации и построение асимптотического решения задачи Коши

§ 2. Асимптотическая сходимость формальных решений

§ 3. Пример

§ 4. Регуляризация и формальные решения задачи Коши,

когда предельный оператор имеет одну точку

спектра конечной кратности

§ 5. Оценка остаточного члена

§ 6« Пример
Глава II. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННЫХ ЗАДАЧ С КРАТНЫМ СПЕКТРОМ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ I. Постановка задачи и структура существенно особых многообразий

§ 2. Разрешимость итерационных задач. Построение формальных асимптотических решений
§ 3. Обоснование асимптотической сходимости формаль-

ных решений
§ 4. Пример
Глава III. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ТОЧКОЙ
ПОВОРОТА
§ I. Регуляризация задачи
§ 2. Разрешимость итерационных задач и построение формальных решений
§ 3. Асимптотическая сходимость формальных решений... j^g
§ 4. Пример
ЛИТЕРАТУРА

Теория асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных: задач, рассмотрению которой посвящена настоящая работа, представлена трудами как советских', так и зарубежных исследователей. Свое первоначальное развитие эта теория получила еще в трудах Лиувилля [59], Биркгофа [57] , Шлезингера [б2~] . Однако только в конце сороковых годов настоящего столетия проблемами сингулярно возмущенных задач стал заниматься широкий круг математиков. Благодаря работе / 49] А.Н.Тихонова, посвященной исследованию предельного перехода в сингулярно возмущенных уравнениях с медленными и быстрыми переменными, начинается систематический этап развития математической теории асимптотического интегрирования. В конце пятидесятых годов разрабатывается метод Вишика-Люстерника [її] в линейном случае и метод Васильевой (см., например,[4],[б] ) - в нелинейном. Эти методы стали основой исследования функции пограничного слоя в задачах, в которых решение стремится к предельному с экспоненциальной скоростью, когда возмущение стремится к нулю» Существенные результаты, обобщающие и развивающие метод Вишика-Люстерника-Васильевой, были получены В.Ф.Бутузовым {см., например, [з]). Рассматривая сингулярно возмущенные задачи в областях с негладкой границей,он приходит к идее углового пограничного слоя, на основе которого создает эффективный метод исследования как линейных, так и нелинейных сингулярно возмущенных уравнений в частных производных. Развитие идей метода пограничных функций в интегро-дифференциаль-ных уравнениях проводится в основном в работах М.И.Иманалиева (см., например, [2і]). Эти же уравнения, но рассматриваемые на основе обобщения метода усреднения, явились объектом изучения А.Н. Филатова и его учеников (см., например, [54] ).
Сингулярно возмущенные уравнения возникают и при изучении периодических процессов. При рассмотрении дифференциальных уравнений с большим параметром Дородницын A.A. разрабатывает теорию асимп-

тотического интегрирования, в основе которой лежат идеи, отличные от идей теории пограничного слоя. Келая исключить в асимптотических решениях секулярные (вековые) члены, Дородницын A.A. разрабатывает метод эталонных уравнений и на его основе глубоко исследует релаксационные колебания, описываемые уравнением Ван--дер-Поля. (см., например, flö]). Общая теория релаксационных колебаний с точки зрения построения асимптотических решений разработана в трудах Понтрягина Л.С., Мищенко Е.Ф. и Розова Н.Х. (см., например
Развитие теории асимптотического интегрирования сингулярно возмущенных задач за рубежом представлено работами Вазова [б], Лангера [58*], Территина [бз], Лайтхипла [б0], Ван Дакка [s?3 ?
Дк.Коула [зо], А.Найфэ [45] и др. исследователей.
В конце пятидесятых и начале шестидесятых годов С.А.Ломов, изучая модельные уравнения Лайтхилла, приходит к идее регуляризации сингулярных возмущений путём перехода в пространство большей размерности. Эта идея глубоко развивается им в последующих работах (см., например, [8,31-37]) и приводит к созданию метода регуляризации, наиболее полно изложенному в его монографии {зб].
Настоящая работа посвящена развитию метода регуляризации на некоторые (ранее не изученные) классы сингулярно возмущенных задач. Основное содержание диссертации составляет разработка алгоритмов построения регупяризованных асимптотических решений для уравнений в гильбертовых пространствах с кратным спектром предельного оператора. Последняя глава диссертации посвящена исследованию сингулярно возмущенной задачи, в которой нарушается известное условие стабильности спектра (задача с точкой поворота).
При асимптотическом интегрировании сингулярно возмущенных задач определяющим фактором является спектр предельного оператора.

А СР = 'Х и /УпН 'т.+ й
•| |<; 'к 1 ос 7 ’ >
Таким образом, у нас алгебраическая кратность точки 0^ равна Ьи , геометрическая - единице. Собственное подпространство, отвечающее кратной точке, будем обозначать через Е^. Систему присоединенных функций сопряженного оператора А* будем обозначать через , а собственные
функции - > ... .
Условие 2°. Системы Функций {ч^} и {^г'З являются
.. . Собственныв и присоединенные функции образуют базис Рисса в
гильбертовом пространстве Н
Условие 3°. В каждом собственном подпространстве Е* имеет место спектральное разложение
> ^отги, Оп+І, оги-а
где - нильпотентный оператор (1^ап=г^1п+г- ...= О), Рк -- проектор на
Условие 4°. Іь(-Іг) € С°°([0^Т]гН) , оператор А'1
существует и ограничен.
2. Регуляризация задачи. В случае кратного спектра воз-

никает вопрос ? по каким степеням £ вести разложение. В случае переменного оператора А.Г.Елисеев предложил использовать для этой цели теорию ветвления с использованием всего оператобиортогонально сопряженными, т.е. (% > с/’/)=$