Об устойчивости осесимметрических решений одной математической модели движения вязкой несжимаемой жидкости

• Автор: Губин, Алексей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 122 с.

1 Вывод уравнений и постановка граничных условий

1.1 О классе рассматриваемых решений

1.1.1 Предварительные предположения

1.1.2 Уточнение класса рассматриваемых решений

1.2 Постановка начально-краевой задачи

1.2.1 Замена Р. Сулливена

1.2.2 О дополнительных граничных условиях

2 Частное семейство решений: случай 9(х,Ь, г) = в (х,£)

2.1 Постановка рассматриваемых задач

2.2 Обобщённые решения

2.2.1 Пространства обобщённых функций

2.2.2 О гильбертовости пространства К2
2.2.3 Обратный оператор
2.2.4 Теоремы существования и единственности
2.3 Регулярные решения
2.3.1 Пространства функций
2.3.2 О модифицированных функциях Бесселя
2.3.3 Оценки для резольвенты
2.3.4 Теоремы существования и единственности
2.4 Об устойчивости частных семейств стационарных решений

2.4.1 Об устойчивости функции в
2.4.2 Определения устойчивости функции гщ и предварительные рассуждения
2.4.3 О поведении спектра оператора А
2.4.4 Теорема об устойчивости функции гсц
Общий случай рассматриваемых решений ($2 Ф 0)
3.1 О разрешимости начально-краевой задачи
3.1.1 Преобразование уравнений
3.1.2 Теоремы существования и единственности
3.1.3 О достаточности задания условия (1.2.14)
3.2 К вопросу об устойчивости
3.2.1 Об одном достаточном критерии сохранения границ устойчивости
3.2.2 Об устойчивости функций ги^хА) и 9(х, <)
Список литературы

Вихревые движения часто встречаются в природе и хорошо известны в технике. Это своеобразное и относительно легко наблюдаемое гидродинамическое и газодинамическое явление привлекало внимание многих исследователей. Из курса гидродинамики (например, [1], [2]) хорошо известно такое явление как вихревые дорожки Кармана, а также утверждения, которые называются кинематическими и динамическими теоремами Гельмгольца о вихрях. В работе М. А. Лаврентьева, Б. В. Шабата [3] изложены результаты по исследованию кольцевых вихрей и указаны направления их дальнейшего изучения. Однако, несмотря на большое число работ, посвящённых изучению вихревых движений, ряд вопросов остаётся открытым.
Вихревые движения ограниченные твёрдыми стенками получили широкое распространение в технике, причём устройства, использующие закрученные потоки газа или жидкости, обычно обеспечивают существенное увеличение интенсивности процесса и, тем самым, его экономической эффективности. В настоящей работе рассматриваются математические вопросы, связанные с изучением гидродинамических процессов вблизи оси вращения жидкости в вихревой камере, в которой частицы жидкости движутся по спиральным траекториям и выбрасываются через отверстия в торцевых крышках. Вихревые камеры такого типа используются при разработке новых биотехнологий, обеспечивающих мягкие условия перемешивания суспензии клеток при высокой скорости межфазного обмена [4] - [6]. Течение в вихревых камерах принято разбивать на зону

фиксированном Ь € (О, Т) и начальным данным в смысле пределов
Дто J ^(вх{х, г) - 9ох{х))2 + ^ ^ 1 = О,
о ' '

Дт /^х(ю!Х(х^) - гиюхОс))2 + (и>1(®,*) - гщо(х))2) дх = О
Введем обозначение нормы
1 !/2
|со|||* = эир I (хи>1 + со2) дх о<г<г У
/ г 1 1/2
+ |//("? + А4+^ + ^<й) ■ (2.2.13)
О
Используя разложение по собственным функциям оператора А :
Ко, докажем следующее утверждение.
Теорема 2.2.3 Пусть С(х) является аналитическим решением задачи (2.1.7), (2.1.10). Тогда в области С^т задача (2.1.15), (2.1.14) для любой правой части /(х, £) £ Тг(0, Т; Т^о) и любых начальных данных и>о(х) £ К имеет единственное обобщённое решение ш(х,Ь) из множества функций с конечной нормой |||о>|[|* и удовлетворяющих условию ^Нгп^ |||офх, £) — сыц(щ)||[1 = 0. Кроме того, для данного решения со(х,<) справедлива оценка
1/2 / Т 1 ч 1/2‘
МП* < СА(Т)
[іхш1х + шо) Лх ) + ( [ [ Р(х, 0
40 / о о
Константа Са(Т) может быть выбрана не зависящей от Т, если все собственные числа оператора А : К2 Ко отрицательны.