Асимптотическое поведение решений двухфазовой проблемы микроволнового нагрева в одномерном случае

• Автор: Юмагузин, Наиль Юлаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 96 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Технологические и физические модели микроволнового нагрева

1.1 Описание процесса микроволнового нагрева

1.2 Гипертермия в онкологии

1.3 Двухфазовость задачи микроволнового нагрева

1.4 Одномерный случай задачи микроволнового нагрева

2 Асимптотическое поведение классических решений однофазовой проблемы микроволнового нагрева

2.1 Постановка задачи. Построение динамической системы

2.2 Построение функционала типа Ляпунова. Исследование

асимптотического поведения решений
2.3 Численные результаты
3 Асимптотическое поведение слабых решений двухфазовой проблемы микроволнового нагрева
3.1 Формулировка задачи. Понятие слабого решения
3.2 Исследование асимптотического поведения с помощью функционала типа Ляпунова

3.3 Исследование асимптотического поведения с помощью многозначных полугрупп
3.4 Существование аттрактора многозначной полугруппы
3.5 Численные результаты
Литература

Введение
В представленной работе изучается асимптотическое поведение решений начально-краевой задачи для параболико-гиперболической системы, описывающей процесс нагрева материала под воздействием микроволнового излучения в одномерном случае по пространственной переменной. Такой процесс нагрева под действием микроволнового излучения используется в различных технологических процессах ([28]), а в последнее время более интенсивно в медицине ([29]). В трехмерном случае данный процесс описывается с помощью парной системы из уравнений Максвелла и уравнения теплопроводности. Одномерный случай по пространственной переменной рассматривается в данной работе.
Первая глава работы посвящена рассмотрению некоторых прикладных задач, использующих микроволновый нагрев. В первой части главы описывается устройство широко используемого прибора, нагревающего материал микроволнами (микроволновая печь) и рассматривается применение микроволнового нагрева в медицине для лечения раковых заболеваний путем процедуры гипертермии. Далее, с использованием физических законов, в предложенной работе выводятся основные дифференциальные уравнения в частных производных, описывающие подобную задачу микроволнового нагрева. Кроме того, в данной главе рассматривается комбинирование процедуры гипертермии с криотерапией. Для данной комбинации приводится обобщение выведенных уравнений с учетом двухфазовости ма-

Доказательство. Допустим и = (w, v. в) и й — (го, v, в) есть решения системы (2.7)-(2.13) с начальными данными щ = (год, гд, #о) и Щ = (щ, гд, во)
соответственно.
Тогда введем следующую функцию й = (го, v,9) = и — й.
Подставляя решения и и гг в уравнения системы (2.7)-(2.13) и вычитая соответствующие уравнения друг от друга, получаем
WU - Wxx = —(a(9)v - o{e)v), (x, /.) e Qr, (2.15)
~ 0XX = а(<9)г>2 - a(0)72, (x, i) € Qr. (2.16)
Далее мы будем использовать априорные оценки ||г>(-Д)|ф=оЩ) < С, l|w(-,t)|U<»(n) < С Для t £ выведенные в работе Yin Н.-М. [60|.
Здесь за С обозначаются различные константы, которые зависят только от Т, ЦггоНдщц, ||й0||щ(о)-
Рассмотрим правую часть уравнения (2.15), для нее, при (x.t) £ Qt, верны следующие неравенства
а(в)ь — a(9)v < |(cr(6>) — a(0))v + a(9)(v — x)| < Св + Cv,
где (а(в) — cr(<9))| < 0, в силу того, что ст(-) - удовлетворяет условию Липшица.
Перемножим (2.15) скалярно на v и с учетом предыдущих оценок получим
+ 1|е|Ц.(П)) = (-WWv - <
< С(6.5) + C(v,v)< С||«||Д„, + C||S|||.(11), (2.17)
для любого t £ [0. Т]. Здесь и далее (-,-) обозначает скалярное произведение в пространстве