Краевые задачи для уравнения Гельмгольца в плоских областях с разрезами

• Автор: Колыбасова, Валентина Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 120 с. : ил.

1 Смешанная задача для уравнения Гельмгольца в двумерной области с разрезами с условием Дирихле на разрезах

1.1 Постановка задачи

1.2 Интегральные уравнения на границе

1.3 Интегральное уравнение Фредгольма и решение задачи

1.4 Обоснование дифференцирования под знаком интеграла в (13а)

2 Задача Дирихле—Неймана для уравнения Гельмгольца в двумерной области с разрезами с условием Неймана на разрезах

2.1 Постановка задачи

2.2 Интегральные уравнения на границе

2.3 Интегральное уравнение Фредгольма и решение задачи

2.4 Анализ уравнения (20)

2.5 Свойства гладкости потенциала двойного слоя

2.6 Гладкость прямого значения потенциала двойного слоя
3 Обобщение задачи Неймана для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости
3.1 Постановка задачи
3.2 Сведение задачи к сингулярному уравнению
3.3 Регуляризация сингулярного интегрального уравнения. Теорема существования
4 Уравнение Гельмгольца вне разрезов на плоскости с заданием условия Дирихле и условия третьего рода на разных
сторонах разрезов
4.1 Постановка задачи
4.2 Сведение задачи к интегральным уравнениям
4.3 Существование решения
Приложение
1 Асимптотика потенциалов на бесконечности
2 Асимптотика на бесконечности решений уравнения Гельмгольца
Заключение
Литература

Настоящая работа посвящена исследованию краевых задач в плоских областях с разрезами для уравнения Гельмгольца. Краевые задачи в плоских областях, содержащих разомкнутые кривые (разрезы), имеют много приложений в физике и механике, так как разрезы моделируют трещины в твёрдых телах, крылья и экраны в жидкостях и газах, электроды в полупроводниках и т.д.
В последнее время, в связи с бурным развитием математического моделирования, в теории краевых задач появилось большое количество новых результатов. В частности, значительный прогресс достигнут в строгом исследовании краевых задач вне криволинейных разрезов и их систем. Метод граничных интегральных уравнений, основанный на методе потенциалов, является одним из наиболее конструктивных при решении краевых задач в областях с разрезами, так как позволяет получить интегральное представление для решения. Этот метод находит широкое применение в доказательстве однозначной разрешимости краевых задач, а также служит теоретической основой разработки алгоритмов их численного решения. Особенно эффективным этот метод оказывается в случае внешних краевых задач для неограниченных областей, позволяя перейти от исходной двумерной задачи к одномерному интегральному уравнению.
• Перейдём к краткому обзору работ, посвященных исследованию краевых
задач для уравнения Гельмгольца вне разрезов на плоскости и вне незамкнутых поверхностей в пространстве.
Задача Дирихле для разреза в виде прямолинейного “уголка” численно решена в [1, 2].
Численное решение ряда задач дифракции в канонических областях было получено В. П. Шестопаловым и его коллегами методом задачи Римана-Гильберта. Метод задачи Римана-Гильберта позволяет сводить краевые задачи дифракции в канонических областях, содержащих прямолинейные разрезы либо разрезы вдоль дуг окружностей, к таким бесконечномерным алгебраическим системам, которые легко решаются численно. При этом решение краевой задачи разыскивается в виде ряда, содержащего неизвестные коэффициенты Фурье и учитывающего геометрию области. После подстановки ряда в граничное условие получается система уравнений относительно неизвестных коэффициентов. В этой системе выделяется старший оператор, который допускает обращение в явном виде с помощью точного решения задачи Римана-Гильберта для аналитических функций в соответствующей канонической области. После обращения старшего оператора исходная система уравнений относительно коэффициентов Фурье сводится к бесконечномерной

алгебраической системе, которая легко решается численно, так как имеет старшие коэффициенты на главной диагонали. Задача Дирихле для плоской волны, нормально падающей на ленточную решётку (бесконечная периодическая система прямолинейных разрезов, лежащих на одной прямой), численно решена в [3]. Задача Дирихле для двойной ленточной решётки численно решена в [4]. В [5] численно решаются задачи Дирихле и Неймана дифракции плоских волн на ленточных решётках, в том числе многоэлементных и многослойных. Существование и единственность решения задачи Дирихле дифракции плоской волны на ленточной и ножевой (бесконечная периодическая система параллельных прямолинейных разрезов) решётках доказаны в [6]—[8]. Для задачи Неймана на ножевой решётке в среде с поглощением это доказано в [9, 10]. В [11] численно решена задача Неймана для конечной системы прямолинейных разрезов, лежащих на прямой. Существование и единственность решения этой задачи для случая падения плоской волны доказаны в [12]. В [5] численно решены задачи Дирихле и Неймана дифракции плоской волны на дуге окружности. В [13] численно решены задачи Дирихле и Неймана дифракции плоской волны на окружности с двумя щелями. В [14] доказаны существование и единственность решения задач Дирихле и Неймана для дуги окружности, задачи дифракции плоской волны (условия Дирихле или Неймана) на двух дугах разных окружностей. В [15] доказаны существование и единственность решения задачи дифракции плоской волны на решётке из дуг окружностей (задача Неймана), а в [14] — то же для задачи Дирихле (падение плоской или цилиндрической волны). В [14], [16]—[19] доказаны существование и единственность решения задач Дирихле и Неймана для конечного числа дуг окружностей, расположенных произвольно. Задача Дирихле дифракции плоской волны, а также задача Неймана дифракции сферической волны на сфере с круговым отверстием численно решены в [14]. Существование решения осесимметрической задачи Дирихле для бесконечно тонкого сферического сегмента с концентрическим шаровым включением доказано в [14]. Там же численно решены осесимметричные задачи Дирихле и Неймана для двух сфер с круговыми отверстиями и задача Неймана для бочкообразного сферического экрана. Численное решение задачи Неймана рассеяния плоской волны на системе из диска и сферы с круговым отверстием получено в [17].
Л. Н. Литвиненко и его коллеги свели задачи Дирихле и Неймана для прямолинейного экрана к интегральному уравнению Фредгольма второго рода с помощью полуобращения в [20]. Уравнение решается численно. Задачи Неймана для ленточной и ножевой решёток, а также для ограниченной ножевой решётки численно решены с помощью обращения статической части оператора рассеяния (соответствующей случаю к = 0 в уравнении Гельмгольца
Подставляя сюда однородные граничные условия (2Ь), получим тождество (2(1), в котором V — внутренняя область. Повторяя рассуждения, приведённые выше, получим, что «о = 0 во внутренней области Т>.
Таким образом, во всех случаях однородная задача и имеет только тривиальное решение. Вследствие линейности задачи и, неоднородная задача имеет не более одного решения. Теорема доказана.
Теорема выполняется как для внутренней, так и для внешней области Т>.
2.2 Интегральные уравнения на границе
Далее будем предполагать, что
(3) Е+(*), Р~(в) 6 С°'х (Г1), Е(а) € С1)А (Г2), Л е (0,1].
Если В (Г1), #2 (Г2) — банаховы пространства функций, заданных на Г1 и Г2, то для функций, заданных на Г, введём банахово пространство В (Г1) П #2 (Г2) с нормой || • Цв^г^пВзТ2) = II • 11в1(г1) + || • ||в2(г2)-Рассмотрим угловой потенциал из [67, 68] для уравнения (2а) на Г1
(4) тШх) = ~1 ц((г)У{х,<т)<Ьт.

Ядро У(х, а) задано на каждой кривой Г* (п = 1 N1) по формуле V(х, а) = ] (кх~у(0|) о Е [а*, Ь1] ,
ап У
где — функция Ханкеля первого рода [90]:
*?>(*) = /ехр(-*)Г1/2 [1 + £У',2М,
пл/г ' 2г)
У = 2/(0 = (2/1Ш. 2/2(0). 1ж - 2/(01 = 2/1(0) +(*2- 2/2(0) •
Далее будем предполагать, что //(сг) принадлежит банахову пространству С“ (г1), о; Е (0,1], q Е [0,1), и удовлетворяет следующим дополнительным условиям:

(5) J|л(a)da = 0, п = 1 N1.
Будем говорить, ЧТО /((я) Е Сц (Г1), если