Вопросы существования решений и их асимптотика для нелинейных эволюционных уравнений

• Автор: Комаров, Михаил Владиславович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 114 с.

Оглавление
Введение
1 Периодическая задача для уравнения, содержащего квадратичную и кубическую нелинейности

1.1 Постановка задачи, обозначения

1.2 Числовые неравенства

1.3 Локальное по времени существование решения

1.3.1 Случай отсутствия сильной диссипации

1.3.2 Случай сильной диссипации. Сглаживание решения

1.4 Существование решения в целом по времени и асимптотика

1.4.1 Случай малых начальных данных

1.4.2 Случай немалых начальных данных

1.5 Осциллирующая асимптотика
2 Периодическая задача для обобщенного уравнения Колмогорова-Петровского-Пискунова
2.1 Постановка задачи, обозначения
2.2 Предварительные оценки
2.3 Локальное по времени существование решения
2.4 Существование решения в целом по времени

2.5 Асимптотика решения периодической задачи в случае малых
начальных данных
3 Периодическая задача для комплексного уравнения
Ландау-Гинзбурга
3.1 Постановка задачи, обозначения
3.2 Предварительные оценки
3.3 Существование решения в целом по времени и асимптотика
Заключение
Роль линейного, нелинейного операторов и начальных данных в
теоремах существования
Литература

Введение
Теория нелинейных уравнений, описывающих различные физические эффекты. является весьма, важной и актуальной. Наиболее интересными задачами в этой теории являются вопросы о разрушении решений за конечное время, глобальное во времени существование решений и их асимптотика при больших временах. Сложность получения асимптотики связана, во-первых, с необходимостью первоначального доказательства существования решения в целом по времени, и во-вторых, с получением некоторого количества дополнительных априорных оценок, учитывающих тип нелинейности в задаче.
Интерес к периодическим задачам возникает по нескольким причинам. Такого рода задачи можно рассматривать, например, в случае, когда среда обладает периодической структурой: кристаллы, клеточная ткань, композитные материалы. Асимптотика решений подобных задач имеет особенности, отличающие ее от асимптотики решений задачи Коши (см., например, [1-3]). Периодические по пространству решения могут быть использованы для описания поведения при больших временах нестабильных волн, которые предшествуют состоянию турбулентности (см. [4]).
Периодические задачи для известных нелинейных уравнений исследовались в большом числе работ. Так, например, в работе [5] рассматривается

2. Если, сверх того, и — 0, то
II jV(«) —Л/Ь(«)IIа- <С\и - «о||ч(|«о| + II« - «оНл. + М2 + II« - «ollftj)
где щ = щ(ф), Л/о (гг) — нулевые коэффициенты Фурье функций и(ф,х) и ф[(и) соответственно.
Доказательство. 1. Из определения оператора Л/", оценки его коэффициентов (1.3) и неравенства (а + Ь)2 2(а2 + Ь2), а, Ь Є К, последовательно получаем
||Л/"(«') M(v)\h* — 1 Ap,q(up~quq vp-qvq) +

J2(p)2s Еа>л(с
)“f" 'Vp—qiUq q) )

V Я