Об усреднении нелинейных эллиптических задач в средах с двойной пористостью

• Автор: Шульга, Светлана Борисовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 90 с. : ил.

^ Введение
1. Усреднение нелинейных вариационных задач в некоторых моделях сред с двойной пористостью

§1. Вспомогательные вопросы

§2. Основные теоремы о двухмасштабной сходимости

§3. Постановка задачи. Классическое усреднение

§4. Вариационные модели двойной пористости

2. Усреднение монотонных операторов

§1. Постановка задачи

§2. Теорема усреднения

§3. Усреднение в некоторых моделях сред с двойной пористостью

Литература

1. Настоящая диссертация посвящена некоторым вопросам усреднения для уравнений с частными производными. Этот новый раздел дифференциальных уравнений с частными производными возник в основном за последние 30 лет и имеет многочисленные важные применения в теории композитных и перфорированных материалов, теории фильтрации, теории дисперсных сред и в других областях физики, механики и современной техники.
Сам термин усреднение обычно ассоциируется с методами нелинейной механики и обыкновенных дифференциальных уравнений, развитыми в трудах Пуанкаре, Ван дер Поля, Крылова, Боголюбова и др. Длительное время, начиная с прошлого века (работы Максвелла и Рэлея), вопросы усреднения для уравнений с частными производными изучались преимущественно физиками и механиками и оставались вне поля зрения математиков.
При рассмотрении математических моделей микронеоднородных сред их локальные характеристики, как правило, описываются функциями а(е~1х), где е > 0 - малый параметр. При этом функция а{х) может быть периодической, почти периодической, реализацией однородного случайного поля или относиться к другому определенному классу. Процессы, протекающие в таких материалах, обычно описываются уравнениями с частными производными, решение которых сопряжено с большими трудностями, так как их коэффициснты быстро осциллируют. В связи с этим появляется необходимость построения усредненных моделей таких задач.
Имеется ряд монографий, посвященных математическим вопросам усреднения. Это книги Марченко, Хруслова [1], Bensoussan, Lions, Papanicolau [2], Санчес-Паленсии [3], Бахвалова, Панасенко [4], Олейник, Иосифьяна, Шамаева [5], Жикова, Козлова, Олейник [6] и др., в которых также имеется обширная библиография работ по теории усреднения и связанным с ней прикладным задачам.
Рассмотрим одну модельную постановку задачи усреднения в перфорированной области
где О. - фиксированная ограниченная область в Ш.^, множество Р£ = єР1 = {єх, х Є Р} - гомотетическое сжатие периодического открытого (не обязательно связного) множества Р С Ш^. Для наглядности можно представить себе, что Р1 - это внешность периодически расВ области (0.1) рассмотрим простейшее эллиптическое уравнес условием Неймана на части О П ДР£ границы области (0.1) и условием Дирихле на остальной части границы.
Уравнение (0.2) понимается в следующем смысле. Пусть С§°(Г2) - множество всех гладких финитных в области П функций. Введем соболевское пространство УС как замыкание Сц^П) по норме
П£ = П П F£,
(0.1)
положенной системы шаров в Ш

(0.2)
Теперь, имея оценку для и£, аналогичным путем получим оценку для градиента
JVu£pdy£ < (^J gp'dfi^j u£pd/i^j <
n n n
< i^J gp,dfi^j (^J gp‘dy^j = J gp'dy£ < Cx < oo.
n n и
Итак, u£ и Vwe ограничены н lf(Q,dfi£), и теорема 1.12 дает соотношение (1.19).
По свойству полунепрерывности имеем неравенство
lim/e > JJ /(у, Vw(x) + a(x,y)) dx d/i + J |u|pdx + J gudx,
no q n
где мы учли соотношение
lim J gu£dy£ = // gu dx dfi = J gu dx. n па и
Так как //(у, Vu(x) + v(x,y))dy > /hom(Vw), то □
liraГ> J fhom(Vu)dx + J |updx-Jgudx = Ihom. (1.31)
n n n
Шаг 2. Получим противоположную (1.31) оценку. С этой целью введем пробную функцию вида
rp£ = ip(x) + ez(x,£-1x), где реС£°(П), г 6 С0М(9,С“( □)).
Заметим, что из выпуклости лагранжиана / и оценки (1.22) следует неравенство
1/(0 - /(»1)1 < cder1 + kr1 + 1)1е - Ч|.
Поэтому из равенства Vi/>£ = V<р + Vyz + £Vxz, у = £~1х, имеем: |/(б_1х, V^) - f(e~1x,W(p + Vyr)| < С£,