О граничных значениях решений параболических уравнений с меняющимся направлением времени

• Автор: Черных, Елена Вячеславовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 с.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1 Локальные априорные оценки решений уравнений
смешанного типа и близкие вопросы разрешимости первой смешанной задачи для параболического уравнения второго порядка с меняющимся направлением
времени
ГЛАВА 2 О поведении решений параболических уравнений с меняющимся направлением времени вблизи границы прямоугольной области
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Исследование поведения решений дифференциальных уравнений в гастных производных и краевых задач для таких уравнений в окрестности рапиды рассматриваемой области является одним из важнейших и давно изучаемых разделов качественной теории. В настоящей диссертации усматривается круг вопросов, связанных с изучением граничных значений эешений параболических уравнений второго порядка.
В этой области одной из первых является классическая работа П.Фату [1]. В ней, в частности, доказано, что аналитическая и ограниченная в единичном фуге функция имеет почти всюду на границе некасательные предельные значения. Этот результат получил дальнейшее развитие в работах
А..Островского [2], Р.Неванлинна [3]-[5], Ф.Рисса [6]-[7], И.И.Привалова [8], ЖЛитшвуда и РЛэли [9], H.H.Лузина [10], Ж.Марцинкевича и А.Зигмунда [11], Ж.Коте [13], В.С.Владимирова [14] и других.
Наиболее близкими к рассматриваемому в диссертации кругу вопросов являются теоремы Ф.Рисса и Ж.Лщтлвуда и Р.Пэли, выявляющие критерии существования предельных значений в Lp, аналитических в единичном круге функций.
В работе ВЛ.Михайлова [28]установлены неоходимость и достаточность условий Рисса и Литшвуда-Пэли для существования предела в Ь2 на границе области для решения общего неоднородного эллиптического уравнения второго порядка с правой частью, принадлежащей определенному пространству, в произвольной ограниченной области, граница которой принадлежит классу С2.Обобщение результатов В.П.Михайлова на случай Lp,
р> 1, получено в работах А.К.Гущина, В.П.Михайлова [81]-[82] и И.М.Петрушко [103]-[Ю4].
Изучение поведения решений однородных параболических уравнений в юлупространстве (и в полосе) вблизи характеристической плоскости, связанное с получением интегральных представлений таких решений, и юказагельство утверждений типа теоремы Фату проводены в работах Ц.Унддера [35]-[36], Ф.Геринга [37], В.А.Кондратьева и С.Д.Эйдельмана [39]-40], Р.Джонсона [41]-[42], Ж.Шабровского [43], В.Й.Горбачук и МЛ.Горбачука [20]-[22].
В последнее время возрос интерес к изучению уравнений, тип которых изменяется в рассматриваемой области при переходе через заданные линии али поверхности, а также при достижении граничных точек. В первую очередь к ним относятся линейные уравнения смешанного типа. Исследования этих уравнений начались с работ Ф.Трикоми [48], С.Геллерстедта [49]-[50], С.А.Чаплыгина [46]. Важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в трансзвуковой газодинамике были изучены Франклем, что послужило отправной точкой для широкого спектра исследований в упомянутой области.
В развитии теории краевых задач для таких уравнений особую роль сыграли работы М.А.Лаврентьева, А.В.Бицадзе, М.В.Келдыша,
A.В.Овсянникова, И.Н.Векуа, С.А.Чаплыгина, В.П.Ильина, Е.И.Моисеева,
B.Н.Монахова, С.А.Терсенова, Т.И.Зеленяка, А.П.Солдатова, Т.Щ.Кальменова, И.М.Петрушко, Н.В.Кислова, М.М.Смирнова, В.П.Диденжо и их научных школ. В.Н,Врагов, Г.Д.Каратопраклиев, АГ.Кузьмин, Д.М.Расьянс,
Н.А.Ларькин, А.Й.Кожанов, Б.А.Бубнов, С.Г.Пятков, И.Е.Егоров, А-Г.Подгаев, Хе Кан Чер и другие внесли большой вклад в разработку общей теории краевых задач уравнений смешанного типа с произвольными коэффициентами и многообразием смены типа.

|мз2 (х)(1 - х2 )с1х <

следует, что

|и32(х)(1~х2>& ^->о О,
~1 ^->+
и что

{п(х,Рп)~иг{х)У>х{х)(гг ~х2)(Ьс г-+о 0.
~г А,~иО
Докажем сначала непрерывность функции

|и(х, Д)у (хХт2 - х2 )ск

по переменным г и р в области 0 < р < Г/2, -1 < г < 0, то есть докажем, что существует

1нп §и(х>]3^1 (х)(г2 - ху )ск = |и3 (х)т, (х)(1 - X2 )А,
для любого г, е Гг ((-1,0); (1-х2)). Возьмем произвольную функцию у е Г2((-1,0);(1-х2)). Функцию V, (х) всегда можно приблизить гладкими функциями ги(х) е С2[- 1,о], и для доказательства непрерывности достаточно