Нелинейные гиперболические уравнения и характеристические алгебры Ли

• Автор: Муртазина, Регина Димовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 147 с.

Оглавление
Введение
Глава 1. Инварианты Лапласа и характеристические алгебры Ли
§1. Линейные гиперболические уравнения
§2. Критерий интегрируемости нелинейных гиперболических
уравнений по Дарбу
§3. Преобразования Лапласа и Беклунда
Глава 2. Нелинейные гиперболические уравнения со специальной правой частью
§4. Уравнение Клейна-Гордона
§5. Базис характеристической алгебры Ли уравнения синус-Гордон
§6. Уравнение иху — f(u, их)
§7. Уравнение иху = f(ux, иу)
Глава 3. Гиперболические уравнения иху = f(u,ux,uy)
§8. Нелинейные уравнения с конечномерной характеристической
алгеброй
§9. Условия медленного роста характеристической алгебры Ли
§10. Уравнение иху = K{u)L(ux)B{uy)
§11. Анализ пространств и Li при dim L& = dim Lj
§12. Симметрии модифицированного уравнения синус-Гордона . 129 Заключение
Литература

Введение
Теория алгебр Ли выросла из классической теории непрерывных групп преобразований (вторая половина XIX века), основателем которой считается норвежский математик Софус Ли (см. [7, 8]). Основным результатом является сведение "локальных" задач (исследование локальных свойств), относящихся к группам Ли, к соответствующим задачам теории алгебр Ли, то есть к чисто алгебраическим объектам. Наиболее эффективным приложением групп Ли является их использование в общей теории дифференциальных уравнений (см. [29, 30, 44, 45]).
Существенные достижения в области группового анализа были получены Л.В. Овсянниковым и его школой с 50-х годов XX века [44] который показал разнообразные и плодотворные применения группового анализа в механике жидкости и газа. С использованием теоремы Ли Н.Х. Ибрагимов,
В.А. Байков, Р.К. Газизов (см. [3, 50, 52]) получили инфинитезимальное описание приближенных групп преобразований и доказали критерий приближенной инвариантности. Метод обратной задачи рассеяния (см. [1, 27]) позволил проинтегрировать важные для приложений дифференциальные уравнения, обладающие широкой группой симметрий (см. [29]). Рассмотрение наличия у уравнения бесконечной алгебры симметрий в качестве отличительного признака интегрируемости привело к возможности классификации интегрируемых уравнений на основе "симметрийного" подхода (см. [2, 12, 25, 26, 28, 31, 35, 36, 57]), важный вклад в развитие которого внесла
Доказательство. Необходимость. Допустим, что уравнение (2.1) интегрируемо по Дарбу, т.е. существуют интегралы ш{х, у, и, щ,и2
£>(ш(х, у, Щ + £У + . , «01 + £У1 + и0п + ЕУп + ...))
= + ШщУх + ... + и>ипуп) = 0.
Следовательно
и> = Шиу + и>щЬ1 + ... + а>ипьп
и, аналогично,
ъй = ииу + йщУг + ... + ШйкУк
интегралы уравнения (2.2).
Если считать, что и задано, то линейное уравнение (2.2) интегрируемо по Дарбу, тогда, как следует из работы [13], алгебры В и В конечномерны. Согласно доказанному в параграфе 1, цепочка инвариантов Лапласа уравнения (2.2) обрывается с двух сторон.
Достаточность. Пусть цепочка инвариантов Лапласа линейного уравнения (2.2) обрывается с двух сторон. Следовательно характеристические алгебры В я В конечномерны, а уравнение (2.2) имеет интеграл (1.7). Покажем, что функции [ ас1у, Ь_*, Ь-4+1
Так как Ь = /Й1 Д-1 = Ъ - (1п к)х
Ь-т(х, у, и, щ, и2, ), где т = 0
В работе [23] доказано, что для всякого уравнения лиувиллевского типа (2.1) (цепочка инвариантов Лапласа обрывается с двух сторон) существует функция 1р(х, у, и, щ, «2, , Щ>), такая, что
/и, =1)1X1'!/’.
Значит / ас1у = / /иДу = 1п ф(х, у, гг, Мь«2,