Многочастотные колебания в связанных системах нелинейных автогенераторов

• Автор: Попов, Алексей Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 115 с. : ил

Содержание
ВВЕДЕНИЕ

Г Л А В А I:

ПОСТРОЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АВТОГЕНЕРАТОРА

§1.Построение математической модели трехконтурного автогенератора

§2. Введение малого параметра

Г Л А В А II:

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АВТОГЕНЕРАТОРА

§3. Метод усреднения

§4. Условия существования трехчастотных колебаний в линейной системе

§5. Приведение системы уравнений (2.1) к стандартному виду

§6. Нахождение усредненной системы дифференциальных уравнений
§7. Особые точки усредненной системы уравнений для амплитуд колебаний
§8. Условия устойчивости
§9. Условия неустойчивости нулевого решения
§10. Взаимная зависимость устойчивости особых точек
ГЛАВА III:
РАСЧЕТЫ АВТОКОЛЕБАНИЙ В АВТОГЕНЕРАТОРЕ
§11. Методика исследования колебаний в автогенераторе
§12.Пример модели автогенератора с устойчивыми одночастотными в первом приближении колебаниями
§13.Пример модели автогенератора с устойчивыми двухчастотными в первом приближении колебаниями
§14.Пример модели автогенератора с устойчивыми трехчастотными колебаниями 91 ПРИЛОЖЕНИЕ: Текст программы для пакета Мар1е
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Изучение нелинейных колебательных систем занимает важное место во многих разделах физики и техники. Особую актуальность исследования в этом направлении приобрели в 20 веке, с быстрым развитие радиотехники, в связи с появлением таких нелинейных элементов как электронная лампа, полупроводниковый триод, т.к. такие проблемы, как устойчивость колебаний, изменение частоты колебаний с течением времени и т.д. появляются только в нелинейных системах. Наиболее удобными для изучения являются системы с малой нелинейностью, т.е. такие системы, которые близки к линейным системам. С этим связано, например, большое количество методов исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений с малым параметром при нелинейной части, т.е. систем достаточно близких к линейным, так что при нулевом значении параметра система вырождается в линейную [2, 3, 12, 24, 31, 33, 34, 46]. Исследование систем с большой нелинейностью требует индивидуального подхода к каждой конкретной системе и представляет с математической точки зрения довольно трудную задачу.
Среди нелинейных систем особый интерес представляют автоколебательные системы, т.е. системы, которые преобразуют энергию постоянного источника в энергию колебаний. Примером автоколебательной системы может служить радиотехнический автогенератор. В системах с одной степенью свободы, стационарные автоколебания всегда являются периодическими [3, 19, 27, 28]. Если же число степеней свободы больше одной, то периодичность вообще говоря, может не иметь места. Таким образом, при исследовании автоколебательных систем определился круг задач, связанных с нахождением условий существования асимтотически устойчивых установившихся колебаний в нелинейных радиотехнических генераторах [3, 4, 10, 11, 13, 15, 16, 17, 19, 23, 27, 28, 48, 51]. Наиболее исследованными в этом отношении являются генераторы с одним и двумя связанными

контурами [3,19, 27, 28,48, 51]. Данная работа посвящена исследованию колебаний в автогенераторе с тремя связанными контурами, математическая модель которого предложена Непринцевым В.И.
Колебания в данной системе могут быть описаны системой шести нелинейных дифференциальных уравнений.
хх = Ж2,
М1(252Ж1 - 35зЖ12)ж
хъ = Х4,
. ((М1У21 — л . , ч .
72^4 = -721^1 + ^ Л/Цс~ ~ 21) + ^21)ХзА2Х4 +
ЫМг - М2)(252Т1 - ЗД^а.-г

ж'5 = т6,

'(М2(Ж) _ Мз)^
7з4=1' --Чт -Ч^)+*-Ь+^+
(^2732 — ^3272) (72 + 732)^5 ,
£4 -^*-3^
_ м3)
(252Т1 - З53х|)ж2,
72 72 уАА
где XI, х3, Ж5- описывают изменение напряжения в контурах с течением времени, а коэффициенты выражаются через параметры элементов, входящих в данную схему.
Целью данной диссертационной работы является:
- Приближенное нахождение многочастотных режимов автоколебаний в автогенераторе;
- Разработка методов приведения систем к стандартному виду метода усреднения, позволяющих применять для этой цели вычислительные машины;
- Нахождение условий асимптотической устойчивости, одночастотных, двух-

Г Л А В А II
ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ АВТОГЕНЕРАТОРА
§3. Метод усреднения
В этом параграфе приводятся определения и основная теорема метода усреднения [3], который применяется в данной главе для исследования системы дифференциальных уравнений (2.1).
Приведем теорему Крылова-Боголюбова об усреднении на бесконечном интервале времени[3]. Пусть t £ R- время, х : R— > Rn - неизвестная функция, £ - малый параметр (е > 0). |х| - норма в пространстве Rn.
Теорема 1 . Пусть функция X(t,x), входящая в уравнение
~ = eX(t,x), (3.1)
удовлетворяют следующим условиям:
а) Можно указать такую р— окрестность Dp точки £о, 6 которой X(t, х)—почти периодическая функция t, равномерно по отношению кх £ Dp.
б) Функция X(t, х) и ее частные производные первого порядка по х ограничены и равномерно непрерывны по отношению к х в области
—оо < t < со, х £ Dp.
в) Уравнение первого приближения
§=гХоЮ, (3.2)
в котором
Х0(£) = lim ]- f X(t,x)dt, (3.3)
Т—f+oo 1 Jo
имеет квазистатическое решение ( = £о; т.е.такое £ — £о; при котором *о(£о) = 0.