Исследование и численное решение некоторых классов вырожденных систем уравнений в частных производных

• Автор: Гайдомак, Светлана Валерьевна
• Шифр специальности: 01.01.02, 05.13.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 144 с. : ил.

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ АДС МЕТОДОМ

СПЛАЙН-КОЛЛОКАЦИИ

§1.1 Некоторые сведения о постоянных матрицах и их пучках

§1.2 Некоторые сведения о переменных матрицах и их пучках

§1.3 Сходимость метода сплайн-коллокации для линейной АДС

§1.4 Сходимость метода сплайн-коллокации для квазилинейной АДС

§1.5 Основные результаты главы

ГЛАВА 2. ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

§2.1 Постановка задачи. Индекс системы

§2.2 Системы не типа Коши-Ковалевской с постоянными коэффициентами. Теоремы существования

§2.3 Теорема о существовании решения системы интегро-дифферепциальных уравнении

§2.4 Существование решения граничных задач для систем не типа Коши-Ковалевской с переменными коэффициентами
§2.5 Основные результаты главы
ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГИРПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ВЫРОЖДЕННОЙ МАТРИЦЕЙ В ГЛАВНОЙ ЧАСТИ
§3.1 Метод прямых. Доказательство сходимости
§3.2 Метод сеток. Доказательство сходимости
§3.3 Численные эксперименты
§3.4 Решение прикладных задач
§3.5 Приложения теорем существования и метода прямых для решения вырожденных задач оптимального управления с ограничениями в виде систем уравнений в частных производных
§3.6 Основные результаты главы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ГРАФИКИ ЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ
ЛИТЕРАТУРА

1. Предисловие
Одним из наиболее распространенных эффективных методов исследования в различных областях знаний: физики, биологии, экономики и т.д. является математическое моделирование. Математическая модель ориентирована па анализ изучаемых процессов и их прогнозирование. Часто модель представляет собой систему уравнений в частных производных, разрешенную относительно старшей производной искомой вектор-функции, описывающей изменение во времени и пространстве тех или иных характеристик исследуемого процесса. Такие системы принято называть системами, приведенными к нормальной форме (форме Коши-Ковалевской). При учете балансовых соотношений, в частности, законов сохранения, системы уравнений в частных производных дополняются алгебраическими связями. Если процесс обладает последействием, то математическая модель может включать и интегральные уравнения.
Данная работа посвящена исследованию систем, частным случаем которых являются взаимосвязанные системы обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и алгебраических уравнений. В обиі,слі случ.ае это системы уравнений в частных производных с тоэю-дественно выроэ/сденными матрицами при производных искомой вектор-функции по времени и пространственным переменным.
И.Г. Петровский считал изучение таких систем одной из наиболее важных задач теории уравнений в частных производных [38].
Скажем немного о терминологии. В нашей литературе такие системы называются системами не типа Коши-Ковалевской [26, 27, 60], системами не разрегиеииыми относительно старшей производной [28] или уравнениями соболсвского типа [40]. В зарубежной же литературе их чаще всего называют выроэюдепиыми системами или дифференциально-алгебраическими уравнениями в частных производных [58,68,71,73,76-85,87-90,96). В диссертации и работах автора употребляется термины: вырожденные системы или системы
Напомним, что выше доказана следующая теорема сходимости.
Теорема 1.5.1 Пусть для задачи (1.5.1)-(1.5.3) выполнены условия:
1) A{t), B(t), /(0 g cm+1(z);
2) rank A(t) — deg{det(A.4(£) + B{t))} = const = г V t €• /;
3) rank A{t0) = rank {A(t0), f(t0) - B(t0)xo) •
Тогда:
1) задача (1.5.1)-(1.5.3) имеет на отрезке I имеет единственное решение из класса Сm+l(I)]
2) начиная с некоторого т < т*, СЛАУ (1.3.5) имеет единственное решение {xk,i,xk,2, Для которого справедлива оценка ||х(^) — = 0(тт).
Теорема 1.5.1 применяется при доказательстве метода прямых в главе 3. Также рассматривается вырожденная квазилинейная система алгебро-дифференциальных уравнений
A{t)x{t) + F{x, t) — 0, t € / = [to, T] (1.5.4)
где Л(£)> - квадратная (гг х тг)-матрица, H(x,t) - известная, x{t) - искомая
n-мерные вектор-функции,
det A(t) — О V£ G /, (1.5.5)
с начальным условием
x(i0) = т0, то G Rn- (1.5.6)
К системе (1.5.1) также применяется метод сплайн-коллокации и доказана
следующая локальная теорема сходимости.
Теорема 1.5.2 Пусть для задачи (1.5.4)-(1.5.6) выполнены условия:
1) A(t) е Cm+1(I), F{x,t)€Cm+1(U),U={x,t: \х0-х\<р, t € [é0,T]};
2) гапк.4(£о) = max{rank.4(£), t € [£o, Г]};
3) rank A(t0) — rank (Д(Ф) -А(тоЛо));
4) rank A(to) = deg{det(A.4(t) + dH(x0, t0)/dx)}.
Тогда: начиная с некоторого т < т*, система нелинейных уравнений (1.5.4) имеет единственное решение {тцх, т^2 хк,т}, Для которого справедлива оценка
||т(^) -Tfcil|| = 0(тш).
При практической реализации, системы нелинейных уравнений (1.4.5) решаются методом Ньютона. Из доказательства теоремы 1.5.2 следует важные факты:
1) в условиях тсорслш решения разностных уравнений Xk+ являются простыми и метод Ньютона имеет квадратичную скорость сходимости;