К качественной теории систем квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка

• Автор: Трошкин, О.В.
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 78 c. : ил

Часть первая. НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА

Глава I. ГЛАДКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ

§ 0. Вводные замечания

§ I. Допустимые функции и их структура

§ 2. Линии уровня в окрестности границы

§' 3. Соотношения Морса - Гейнса

Глава II. ПРАВИЛЬНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ

§ 0. Вводные замечания

§ I. Условия расщепления

§ 2. Существование седла

§ 3. Некоторые приложения

Часть вторая. ДВУ!ГЕННЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ. ЖИДКОСТИ И ИД СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА
Глава I. ЭЙЛЕРОВЫ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 0. Вводные замечания
§ I. Общие характеристики течении
§ 2. Основная лемма
Глава II. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
§ 0. Вводные замечания
§ I. Течения в цилиндре и прямоугольнике
§ 2. Основные классы эйлеровых полей
Глава III. НЕКОТОРЫЕ КАРТИНЫ УСТАНОВИВШИХСЯ ТЕЧЕНИЙ
§ 0. Вводные замечания
§ I. Потенциальные течения. . .
§ 2. Сферический и тороидальный вихри
§ 3. Течения типа вихревой цепочки
ЛИТЕРАТУРА

Установившееся течение идеальной. ( невязкой и несжимаемой.) жидкости описывается векторным полем, компоненты которого удовлетворяют системе квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка, так называемой системе уравнении Эйлера [18]. Известным частным случаем указанной, системы являются двумерные уравнения Эйлера, относящиеся к плоским и осесимметричным векторным полям [22,25], к течениям на сфере [II] и на двумерном торе [ 38], к тем классам установившихся течений, которые могут быть описаны в терминах некоторого векторного поля Ж, заданного на двумерном римановом многообразии Л [ 15]. При изучении указанных уравнений в ограниченной области обычными средствами теории граничных задач возникает целый ряд трудностей. Неясны условия, обеспечивающие существование и единственность решения (исключая специальный случай "простого протекания", относящийся к регулярному С т.е. не имеющему особых точек) векторному полю, рассмотренный в работе [2]), связь стационарной и нестационарной задачи; не обоснованы приближенные методы исследования. Кроме того, информация ( представляющая как физический, так и принципиальный интерес), которую желательно извлекать из уравнений, выходит за рамки стандартных теорем и касается структурных свойств соответствующего векторного поля: общей картины расположения линий тока, характера и распределения особых точек, условий их отсутствия (или возникновения) и т.п.
Настоящая диссертация посвящена как получению и анализу соотношений, тесно связанных с уравнениями Эйлера, которые могут оказаться полезными именно при получении результатов указанного выше качественного характера, так и ряду конкретных

приложений, относящихся к плоским и осесимметричным течениям.
В этом смысле она примыкает к работам [12,13,15,34,35,38,41].
Работа состоит из двух частей. Первая часть, носящая подготовительный характер, содержит две главы. В первой главе исследуются характер и распределение изолированных особых точек гладкой вещественной функции р , заданной на некотором двумерном многообразии Л. В приложениях в роли указанной функции выступает так называемая функция тока, сопоставленная (по меньшей мере локально) некоторому соленоидалъному векторному полю , соответствующему течению несжимаемой жидкости [15]. В § I доказывается утверждение (теорема 1.3), что всякая гладкая вещественная функция на Л , допускающая внутри Л лишь изолированные особые точки, локально топологически эквивалентна некоторой гармонической функции, имеющей, быть может, особые точки типа логарифмического полюса (соответствующие точкам локального экстремума р). В §§ 2 и 3 изучаются целочисленные соотношения, связывающие сумму индексов особых точек ур с эйлеровой характеристикой. Л и поведением р на границе Л . Указанные соотношения аналогичны известным соотношениям Морса - Гейнса [28], но получены при существенно менее стеснительных условиях, относящихся к поведению ф/ на границе Л , что весьма важно в приложениях [”13,34]. Во второй, части полученные соотношения используются при изучении картин эйлеровых течений.
Естественным ( но не используемом в учебниках.по гидродинамике ) способом задания эйлерова течения служит постановка граничной задачи для соответствующей системы уравнений Эйлера. Специфика двумерного случая, если ограничиться анализом плоских течений, заключается в том, что в этом случае эйлерову полю 7УЬ в ограниченной области молено поставить в соответот-

рованноё ограничение и отличается от аналогичных условий, использованных в соответствующем "нестационарном случае" [37]
(в котором значения о) задаются всюду на границе П , где жидкость втекает вГ1) ив отмеченном выше случае регулярных эйлеровых полей [2] (в котором Си, 8 >0 , а значения СО фиксируются либо на участке Х=-«1,0<у< ,через который жидкость втекает в П , либо на участке Х= Л, о< у < ^ через который она вытекает из Л ; отметим, что в [2] использовалась лишь первая из указанных возможностей).
Ограничения (Сд) и (С^) используются ниже непосредственно при доказательстве основной теоремы 1.1. Полезно заметить, что указанные ограничения служат фактически условиями на множество допустимых значении входящих в условия () — (П, ) функций Си иг). Наличием условия (С^) рассматриваемая стационарная задача существенно отличается от соответствующей нестационарной задачи, исследовавшейся в работе [37].
Как уже отмечалось выше, указанное условие (С^) является центральным для задачи Ь . В силу непрерывности производной |м/7 обеспечивающей связность множества значений данной функции, приведенное условие равносильно, очевидно, требованию существования достаточно малого 8 >0 , такого, при котором выполнено одно из следующих ограничений:
■ < Р^ГИ) < (1.2)
или при некотором уп
Хп+е < рП(-Ь) < 1т+1-£, (1.3)
аналогичных использованным в § 3 гл. II ч. I условиям СИ) и (3)) . Отметим, наконец, что аналог первого из них (условия (1.2)) и был использован в работе [2](в форме требования достаточной малости производной функции, аналогичной вышеприведенной, параметрикс ГИ,/и).