Зависимость от области решений краевой задачи для уравнений динамики вязкого сжимаемого газа

• Автор: Рубан, Евгения Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 148 с.

Оглавление

1. Обозначения и предварительные сведения

1.1. Некоторые сведения из теории интерполяций

1.2. Функциональные пространства

1.3. Теоремы вложения

1.4. Двойственность

1.5. Уравнения Стокса

2. Существование и единственность решения краевой задачи для уравнения переноса

2.1. Основные результаты

2.2. Нормальные координаты

2.3. Модельное уравнение

2.4. Результаты о локальном существовании решений
2.5. Существование решения в окрестности области втекания
2.6. Доказательство теоремы 2.1.
2.7. Доказательство леммы 2.2.
2.8. Доказательство леммы 2.2.
2.9. Доказательство леммы 2.3.
3. Существование и единственность решений краевой задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкого сжимаемого газа
3.1. Постановка задачи
3.2. Существование решений краевой задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкого сжимаемого газа

3.3. Единственность решений краевой задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкого сжимаемого газа
3.4. Вывод уравнений (3.3.2)
3.5. Доказательство леммы 3.3.
3.6. Доказательство леммы 3.3.
3.7. Корректность интегрального тождества (3.3.13)
3.8. Замена переменных в уравнениях Навье-Стокса
3.9. Замена переменных в формуле для функционала сопротивления
3.10. Вывод уравнений в краевой задаче (3.1.14)
4. Дифференцируемость по области функционала сопротивления и решений краевой задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкого сжимаемого газа
4.1. Основные результаты
4.2. Предельный переход в краевой задаче для уравнений Навье-Стокса
4.3. Вывод формулы для производной функционала сопротивления по области
4.4. Вывод уравнений сопряженного состояния
4.5. Существование решения краевой задачи для уравнений сопряженного состояния. Формула для производной функционала сопротивления в терминах сопряженного состояния
4.6. Формальный вывод уравнений в задаче (4.1.3)
5. Производная по области функционала сопротивления
5.1. Производная функционала сопротивления в терминах нормального сдвига, заданного на поверхности обтекаемого тела
5.2. Нормальные координаты
5.3. Возмущение поверхности обтекаемого тела
5.4. Пределы интегралов
5.5. Доказательство теоремы 5.1.

Введение
В работе доказывается корректность постановки и приводится анализ чувствительности решения неоднородной краевой задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкого сжимаемого баротропного газа к изменению формы области течения. Под анализом чувствительности решения краевой задачи мы понимаем анализ того, насколько сильно изменится решение при малом изменении исходных данных задачи (к примеру, формы области течения). В ходе данного анализа, в частности, выводятся оценки на норму решения краевой задачи через нормы варьируемых исходных данных.
Пусть, например, найдена оптимальная форма тела, движущегося в вязком газе, такая, что действующая на тело сила сопротивления минимальна. Если при малом изменении формы области течения решение краевой задачи для стационарных уравнений Навье-Стокса динамики вязкого газа существенно меняется, то действующая на тело сила сопротивления также существенно изменится (возрастет). Таким образом, данная математическая модель будет неудобной для практических приложений.
В диссертации исследуется вопрос об оптимизации формы области течения в случае установившегося движения вязкого сжимаемого баротропного газа. Предложенные в работе методы носят общий характер и могут быть использованы для анализа более широкого класса оптимизационных задач для нелинейных эллиптико-гинерболическнх уравнений.
В работе предполагается, что вязкий газ заполняет ограниченную односвязную область О. = В5 с границей <9Г2 класса С°°, где В С К3 - внешняя область с границей Е = дВ, а. Б С С В - компактная подобласть. Скорость газа совпадает с заданным векторным полем и € С'О0(К3)3 на поверхности Е и равна нулю на

Согласно [33] и [49], имеет место следующий результат о совпадении интерполяционного пространства с пространством Соболева:
УЦ5’Г(12) = ТУо’г(Г2) при в Є (0,1), г Є (1, оо), в ф 1/г.
(1.2.3)
1.3. Теоремы вложения
В этом параграфе сформулируем основные теоремы вложения, используемые в работе, которые можно найти в [25].
Пусть 12 совпадает со всем пространством К'1' или является ограниченной областью в К1* с границей <912 € С1, д > 1 - целое число, 0<в<1,1<г<оо.
1.3.1. Теорема. Пусть вг > Л и 0 < а < в — с1/г, тогда вложение ИЛ,'Г(12) > (7“ (12) непрерывно.
1.3.2. Теорема. Пусть вг > д, тогда пространство Соболева ¥'Ч'Г(П) является коммутативной банаховой алгеброй, т.е. для всех и, и € И'Л5,Г(12) справедливо
неравенство
Из теоремы 7.57 в [25] вытекает следующий результат.
1.3.3. Теорема. Пусть вг < д и £-1 = г-1 — <£_1з, тогда вложение 1Уа,г(П)
И (11) непрерывно.
Из теоремы 7.58 в [25] вытекает следующий результат.
1.3.4. Теорема. Пусть 0 < а < в, (в — а)г < д и (3~Л > г-1 — й~1(в — а), тогда имеет место неравенство
1.4. Двойственность
Пусть 12 совпадает со всем пространством К1* или является ограниченной областью в с границей <912 € С1, д > 1 - целое число.
Н^гфцм.цп) < с(г, в, ф 12)||м]|и'*.’-(П)1М1и'',’-(П)-
(1.3.1)
ІМІи^сп) < с{г, 5, а, Р, 12, (2)[|н||,^.г(п).
(1.3.2)