Об общих нормально разрешимых задачах для некоторых дифференциальных уравнений

• Автор: Кокебаев, Бахыт Керимбаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Алма-Ата
• Количество страниц: 93 c. : ил

ГЛАВА I. К ВОПРОСАМ РАСШИРЕНИЯ И СУЖЕНИЯ

ОПЕРАТОРОВ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

§ I. Необходимые определения и некоторые

вспомогательные утверждения

§ 2. Корректно разрешимые расширения

операторов

$ 3. Корректно разрешимые сужения

операторов

§ 4. Нормально разрешимые сужения

операторов
Глава II. О КОРРЕКТНО РАЗРЕШИМЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО И УЛЬТРАГИПЕРЕОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЙ
§ I. О спектре некоторых задач для
уравнений Лапласа и волны
§ 2. О корректно разрешимых задачах для
псевдопараболического уравнения
§ 3. О корректно'.разрешимых задачах для
ультрагиперболического уравнения
Глава III. О НОРМАЛЬНО РАЗРЕШИМЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ I. Общие нормально разрешимые задачи в круге
для уравнения Бицадзе
§ 2. О коэрцитивных задачах для одного
вырождающегося эллиптического уравнения
ЛИТЕРАТУРА

Настоящая работа посвящена актуальной проблеме описания нормально разрешимых задач для различных дифференциальных уравнений. Основной подход, используемый при этом, -теория сужений и расширений операторов в банаховом пространстве. Он позволяет получить описание (в канонической форме) всех нормально разрешимых задач для различных дифференциальных уравнений, безотносительно к типу в классическом смысле. Вообще, под задачей понимается система условий, опреде-) ляющих сужение так называемого максимального дифференциального оператора, порождаемого общей дифференциальной операцией в рассматриваемом банаховом пространстве функций над конечной областью евклидова пространства.
Рассмотрим в & (линейную дифференциальную) операцию с достаточно гладкими коэффициентами. Пусть ^ + - операция, формально сопряженная к оС
Пусть 2. - область в НС" и Х~ |_р (Й) (1<с р<с*=
Рассматривая сужение £ из X в к и замыкая е минимальный оператор
оператор
и замыкая его в норме графика, определим
. Операторы
называются максимальными операторами для X, и соответственно.
Задачей для уравнения в пространстве X
(в области Я- ) называется замкнутый оператор |_ такой
что [_<= [_ .
л->
Задача [_ называется краевой, если

Всякую функцию Ц из Т)Сі_) будем называть решениєм задачи X
Существует такая связь между множеством задач [_ для уравнения ££ [<+) = | в пространстве X (области ^. ) и множеством однородных дополнительных условий
вида

где - линейный (ограниченный или неограниченный) оператор,
действующий из ])(1) в некоторое банахово пространство У
Условие (х) определяет некоторую задачу [_ для уравнения
^ (и.) = | в пространстве X - сужение 1_ на множество 1)(Х) функций £ ХКО > удовлетворяющих однородному дополнительному условию (х). В этом случае будем говорить, что задача определяется дополнительным
условием (х).
Однако по заданной~задаче X соответствующее ему однородное дополнительное условие восстанавливается неоднозначно. И, наоборот, разным однородным дополнительным уело-)
г**
виям может соответствовать одна и та же задача 1_ . Действительно, если, например, задача определяется дополнительным условием вида (х), то та же задача будет соответствовать дополнительному условию
„ (кх)
полученному применением к обеим частям (х) обратимого оператора К ± . Условие (хх) формально отличается от краевого

Далее, пользуясь неравенствами (2.1.13/) и (2.1.18), а также тем, что для достаточно больших х о1. х ^ 2 | и. сс.| , при достаточно больших уц е ^ будем иметь также оценку
^ 6 Ун- (2.1.20^)
Из (2.1.20), учитывая (2.1.20) и (2.1.20^) легко получаем оценку
/г , , М'" <2Л‘21)
А из (2.1.15) и (2.1.21) вытекает оценка (2.1.14).
Лемма 2.1.1. доказана.
Отметим, что имеет место также и такое утверждение. Следствие леммы 2.1.1. При всех достаточно малых ^ € (С справедлива следующая оценка нормы резольвенты обратного к [_ оператора :

-1н (2.1.22)
\ УО; С )\ * с*
Доказательство. Прежде всего заметим, что справедливо следующее тождество
(2.1.23)
В самом деле,
(Л-г1 Ни" С1