Исследование уравнения Шредингера для кристаллической поверхности с нелокальным потенциалом

• Автор: Плетникова, Наталья Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 100 с.

Глава 1 Спектральные свойства оператора Шредингера

§ 1. Спектр оператора Шредингера

§2. Функция Грина

§ 3. Асимптотика собственных функций

§ 4. Исследование уровней вблизи нуля

§ 5. Исследование уровней вблизи границы

непрерывного спектра

§ 6. Обобщение на многомерный случай

Глава 2 Задача рассеяния

§ 7. Прямая задача рассеяния

§ 8. Обратная задача рассеяния

Список литературы

Начало двадцатого столетия ознаменовалось появлением квантовой механики. В последние десятилетия математиками активно изучается уравнение Шредингера, одно из основных уравнений квантовой физики:
(-А + У{х))ф = Еф, гРеЬ2{Киу,
здесь Д - оператор Лапласа, Е - спектральный параметр, У(х) - вещественная функция (потенциал). Оператор Я = -Д + V(х) является оператором энергии микрочастицы (обычно он самосопряжен), Щ = —А и V (я) - это операторы кинетической и потенциальной энергий соответственно [1|, [2]. Основные математические результаты, относящиеся к уравнению Шредингера, полученные до конца восьмидесятых годов двадцатого века собраны в монографиях [3] - [9]. Обзор последующих результатов имеется в [10]. Изначально рассматривались, в основном, достаточно быстро убывающие на бесконечности потенциалы.
Физиками уже достаточно давно и интенсивно (в том числе в связи с потребностями разного рода технологий) исследуются проблемы, относящиеся к периодическому (возможно, возмущенному) оператору Шредингера, являющемуся оператором энергии электрона в бесконечном кристалле, а также к оператору Шредингера, отвечающему кристаллической пленке или кристаллической поверхности. Периодический случай исследован математически в [б], [11]. В работе [12] для оператора Шредингера, отвечающего кристаллической пленке, строится его разложение в прямом интеграле пространств (см. ниже подобную конструкцию), а также исследуется полнота волновых операторов. В статье [13] найден существенный спектр "пленочного" оператора Шредингера. В статье [14] изучается одномерный оператор Шредингера для полубесконечного кристалла в нестационарном

подходе. Спектральные свойства оператора Н = —cC2/dx2 + eV на оси, где V является оператором довольно общего вида, а є - малый параметр, были изучены P.P. Гадыльшиным в статье [15]. В работах Ю.П. Чубурина [16] - [20] исследуются спектральные свойства и асимптотика собственных функций (класса L00) оператора Шредингера с потенциалами, отвечающими кристаллической пленке, полуограниченному кристаллу или слоистой структуре; также изучается связь между такими операторами. Такого рода операторы занимают промежуточное положение между хорошо изученными операторами Шредингера для уединенного атома и для бесконечного кристалла.
Прямая задача рассеяния на потенциале для оператора Шредингера (нахождение амплитуды рассеяния и других характеристик рассеяния по потенциалу) изучается, например, в книгах [5], [8]. Обратная задача рассеяния (определение потенциала по амплитуде и другим спектральным характеристикам оператора Шредингера) исследуется в монографиях [21] - [25], а так же (на физическом уровне строгости) в [26].
Перечислим теперь работы, наиболее близкие по тематике к диссертации. В работе [27] была решена задача рассеяния для уравнения Шредингера
-у" + и(х)у = к2у, х Є R,
где для с ^ 0 и N ^ 1 потенциал и(х) такой, что v(x) вещественнозначная функция, определенная на R и удовлетворяющая условию
J v{x) - (?в{х) | (1 + 1^1^) dx < оо.

Спектральные свойства оператора Шредингера с малым потенциалом типа возмущенной ступеньки в трехмерном случае были изучены Ю.П. Чу-буриным в работе [16].
где І^(к,Уо) (і, / = 1,2) определяются формулой (2.13).
Будем исследовать асимптотику уровней оператора #2 при малых Аі и Л2. Предположим, что А^ = — 1,2), где щ > 0, /,•(<)
Далее величины о(а„чет->а>) для краткости опускаются. Введем обозначения А] — ат., ^ тогда А;- = + о{А^з). Будем предполагать, что Ц)(е) = -Ве7. Функции о) (/, I = 1,2) являются, согласно
лемме 2.2, аналитическими по переменной к в окрестности нуля, поэтому можно разложить их в ряд Тейлора, подставляя РДе) = — Ве7:
А^1я(к, Ве7) = Мл + ід(0, Ве7)*; + о(к) + О (є7'+7/2), где <7д(0,Ве7) = Л,е^/;7(0,Ве7).
вещественно-аналитические функции, такие, что /ДО) = 0, /2(0) = 0. Раскладывая /;(£) в ряд Тейлора в окрестности нуля, получаем
1л(к, Ве7) - 0, Ве7) + /;7(0, Ве7)& + о(А;,е7).
Введем обозначение
Поскольку
А^1Л( 0, Ве7) = Мл + 0(е7>+7/2),
(4.16)

Положим
Д2(0, Ве7)721(0, Ве7) - ДДО, Ве7)/22(0, Ве7) = гщ,