О разрешимости краевых задач для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений, возникающих в приложениях

• Автор: Кейльман, Н.Э.
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 124 c. : ил

Глава I. Краевая задача для стационарной модели вихря

Глава 2. Устойчивость стационарных решений задачи

/0.10

§1. Необходимое и достаточное условие отрицательности спектра задачи /0.13/

§2. Смешанная задача для неоднородного линеаризованного уравнения

§3. Устойчивость стационарных решений

Глава 3. Смешанная задача для уравнений, не разрешенных относительно старшей производной по времени

§1. Оценки решения задачи /0.14/ в пространстве

обобщенных функций

§2. Классические решения задачи /0.14

§3. Классические решения задачи /0.15

Литература

В диссертационной работе рассматриваются смешанные задачи для эволюционных уравнений, не разрешенных относительно старшей производной по времени. Уравнения такого типа возникают, в частности, в математической теории течений жидкости и газа.
Пусть в цилиндре радиуса происходит движение вязкой однородной несжимаемой жидкости, причем выполнены уравнения Навье-Стокса в декартовых координатах (*<> , ъ)
ПЛОТНОСТЬ, Э = >0 - коэффициент ВЯЗКОСТИ ЖИДКОСТИ, ОСЬ:
Х3 направлена по оси цилиндра.
Переходя к цилиндрическим координатам
_ . „ X, = г Сох?
и, = а. се>ту> + I/ <Р
/0.1
где = (иг>иг, и3) _ вектор скорости, р - давление ,/>=сощ£?охг « г и* р
£/2 = IV
после замены
система /0.1/ запишется в виде

// _ 42 . 29
“■і = ^І *ихх ■+• ^тг СССХ х — + V Сіз г + ■ —г +

+. 2-. ич,х/ - 22 2а. _ ид ш +- — р Ъ? X у °
Ч = # * ** * 7 “ 14 ^ ^ * 5Г ' тИ +
УД
+ 2- 22? + гі х 20 гі + £ >ф 1 • Ру
2І ** 49 гі «<■ * & ■ Щг - і+
+ и„х . V ~ гі . — AzWg. X _ ь
£ 2_ Д4Є- ^и-. ?,г X- 29 гі их
/0.2
Указанная выше замена переменных впервые была предложена Д.Сулливаном ги.
Результаты экспериментов Г2І-Г4] показывают, что в вихревых камерах цилиндрического вида возможно образование зоны, в которой движение однородной вязкой несжимаемой жидкости является осесимметрическим, причем радиальная и тангенциальная компоненты вектора скорости зависят лишь от расстояния до оси цилиндра, осевая же компонента линейно / по г / растет вдоль, оси цилиндра.
Для описания такого рода процессов естественно искать решение системы /0.2/ вида
и - и(х, ±)
V = V (х,Н
Л/ = Д/Г (х,+ ) + 2 ^2 (*>^1
р = 0<х,і) + г-Р,(« + Д «■)

ґ і / ах/г
&>У/о = ОіУе*6г
Пусть "V/"- замыкание функций и(х') є С^Со^І таких, что Сі (о) = а(г) = Му(ґ)=0, по норме
і/иі/, =(/хе ^ С/хх сіх)

1/7 - гильбертово пространство относительно скалярного произведения -
/- ^ / лх/2
(и, х)г = ]хе ихх • Чгх <£х

Пуоть Ук - замыкание ЯСА) по норме
Виії/ = ( Ях3Х?ххх + иг)Лх)г'

Оператор Л~г расширим на следующим образом. Пусть
а. е1Г0 , тогда существует последовательность ип е Я)(л~г),
СЄ„-*>сс при р -> ^=> в . Положим
-І "Хс-Р - -✓
А и -==- д СС„
м—>««»
предел понимается в смысле нормы в Т7
Действительно, так как
Т X £2„ аіх = О,
а ’
с г л*/г %
то А&» 6 V, , //дга»//, = (/хе а£<£х) =//^/4
/ л'У ^ - МпЛ/ї, ^ // сх„- //0
Теперь очевидно, что /ГГ<У существует и не зависит от
выбора . Кроме того, [І^СС/^ ~//а(10.
Оператор А расширим на все следующим образом.
Пусть и € Л/2 ,&»<=■ 50{А) , £2у, -=> и. ПрИ „-**<><=>
в ^2 . Тогда г
/и » ^7 ^<^/7 ,
предел понимается в смысле нормы в