О хаотической динамике двумерных и трехмерных отображений

• Автор: Гонченко, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 130 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Полуориептируемые подковы в динамике двумерных отображений

1.1 Линейные подковы Смейла и их различные типы

1.2 Подковы Смейла в нелинейной динамике

1.3 Полуориеитируемые подковы обобщенных отображений Эио.

2 О сценариях возникновения хаоса у трехмерных диффеоморфизмов.

2.1 Введение в проблему и постановка задачи

2.2 Постановка задачи и описание основных двух универсальных

сценариев возникновения хаоса у трехмерных диффеоморфизмов

2.3 О сценарии 1 возникновения спиральных аттракторов в отображениях

2.3.1 Иллюстрация сценария 1 на примере трехмерных отображений Эио
2.4 О сценарии 2 возникновения лоренцевского или “восьмероч-
ного” СА
2.5 О псевдогиперболических СА
2.5.1 К определению аттракторов лоренцевского типа для диффеоморфизмов
2.5.2 Стратегия качественного и численного исследования аттракторов лоренцевского типа в конкретных трехмерных отображениях
3 Лоренцевские аттракторы в трехмерных отображениях Эно.
3.1 О квадратичных и обобщенных трехмерных отображениях

3.2 Численные эксперименты с отображениями Эно
3.2.1 Эксперименты с отображением (3.2)
3.2.2 Численные эксперименты с отображениями Эно (3.7).
3.3 Доказательство Теоремы 3.
4 О регулярной и хаотической динамике в неголономпой модели “кельтского камня”
4.1 Введение и постановка задачи
4.2 Уравнения движения и их свойства
4.2.1 Компактификация: переменные Андуайе-Депри
4.2.2 Симметрии в модели кельтского камня
4.3 Бифуркации и хаотическая динамика
4.3.1 Бифуркации в регулярной динамике
4.3.2 Возникновение хаоса
4.4 Аттракторы лоренцевского типа в динамике кельтского камня.
4.4.1 Характеристики СА при Е = Е* =
4.4.2 Этапы возникновения и разрушения аттрактора лоренцевского типа в отображении Те
Список литературы

Введение
Одной из основных задач качественной теории динамических систем является задача изучения многомерных систем со сложным, хаотическим поведением траекторий.
Основы качественной теории динамических систем были заложены в конце 19-го и начале 20-го века в классических работах А. Пуанкаре, А.М. Ляпунова, И. Бендиксона, Дж. Биркгофа. Ее важнейший раздел, теория бифуркаций, как самостоятельная математическая дисциплина, оформилась в работах A.A. Андронова, Е.А. Леонтович, А.Г. Майера, Л.С. Понт-рягина. Прежде всего это касалось динамических систем на плоскости.
В 60-е годы началось бурное развитие качественной теории многомерных динамических систем (размерность которых не меньше трех для потоков и не меньше двух для отображений). Прежде всего это касалось теории грубых динамических систем, получившей наименование гиперболической теории. Основы этой теории были заложены в работах В.М. Алексеева, Д.В. Аносова, Р. Боуэна, Р. Манэ, К. Пью, К. Робинсона, Я.Г. Синая, С. Смейла, Д. Френкса, Л.П. Шилышкова, М. Шуба и др. При этом, как оказалось, грубые (гиперболические) системы, в отличие от двумерных, могут допускать и счетное множество периодических траекторий. Хорошо известными примерами такого рода являются двумерный диффеоморфизм с подковой Смейла и диффеоморфизм Аносова двумерного тора. К настоящему времени гиперболическая теория представляет собой важную самостоятельную часть качественной теории, в которой практически не осталось нерешенных проблем.
Основы теории нелокальных бифуркаций многомерных динамических систем были заложены в работах Л.П. Шильникова. Так еще в 60-х годах им были исследованы бифуркации гомоклшшческих траекторий к состояниям равновесия типа седло [47, 50], седло-узел [47], седло-седло с одной [49] и несколькими [51] гомоклиническими траекториями, а также бифуркации гомоклинических петель состояний равновесия типа седло-фокус [48, 52]. В дальнейшем бифуркации многомерных динамических систем изучались

Рисунок 1.6:
сторонами служат соответствующие куски и "(О2)- Вершинами
этого квадрата являются 4 специфические гетероклинические точки. На втором шаге, рис. 1.5(Ь), образуются 4 новых квадрата <2оо> <5о1, <5ю> <5п> принадлежащие <5 и содержащие всё Л. Кроме того, вершины квадратов также принадлежат Л: это 16 гетероклинических точек.
3) У ориентируемой ’’закрученной” подковы рисунка 1.2(Ь) обе неподвижные точки 0 и О2 имеют положительные неустойчивый и устойчивый мультипликаторы. Более того, многообразия УУи(0), И4и(02), УУа{0) и ¥8{02) служат здесь границами множества А. Таким образом, в этом случае граничными (периодическими) точками являются () и О2 - обе эти точки (в, и)-граничные. На рис. 1.6(а) показано начало канторовской процедуры, ведущей к А, когда образуется 4 прямоугольника, у которых вертикальными сторонами служат соответствующие куски многообразий Уи(01) и 1Ти(02), а горизонтальными соответствующие куски многообразий ¥*(01) и 1КЯ(02). Вершинами каждого из этих квадратов являются 2 гомоклиничсские и 2 гетероклинические точки.
4) В случае неориентируемой ’’закрученной” подковы рисунка 1.2(е) обе неподвижные точки 0 и 02 имеют положительный неустойчивый и отрицательный устойчивый мультипликаторы. Поэтому многообразия
и Уа(02) по-прежнему служат здесь (горизонтальными) границами множеству А. В то же время, многообразия Уи{0) и не могут обра-
зовывать границу для А, в силу отрицательности устойчивых мультипли-