Возмущения инвариантных множеств двумерных периодических систем

• Автор: Бегун, Никита Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 70 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение
Глава 1. Постановка задачи
Глава 2. Существование отображения 1г
Глава 3. Слабая гиперболичность
Глава 4. Замкнутость Ку
Заключение
Список литературы

Введение
Вопросы, связанные с устойчивостью слабо гиперболических инвариантных множеств, являются одними из основных в современной теории дифференциальных уравнений. Интерес к ним возник еще во второй половине XX века, но и по сей день эти проблемы не потеряли своей актуальности — каждая новая публикация попадает под пристальное внимание со стороны специалистов.
Имеется ряд, ставших уже классическими, результатов в этой области (см. [1], [2], [9], [11])-
Говоря о генеалогии настоящей работы, в первую очередь стоит упомянуть статьи [1] и [2].
Приведем основные результаты, изложенные в них.
В статье [1] изучается уравнение
х = Х(х),
где х £ М’г, а X — это (Л-функция. действующая из К" в1".
Вводятся понятия слабо гиперболического инвариантного множества К и листа Т, проходящего через точку х е К.
Кроме того предполагается, что для любой точки жо Е К нейтральное и устойчивое подпространства линеаризованной системы
дХ(х(Ь,х0))
х = х

удовлетворяют условию Липшица.
Доказывается, что у системы
y = X(y) + Y(y),
где у 6 К", a Y — это С1-функция, действующая из К" в М”, такая что
\У\& < S,
имеется сколь угодно близкое (при должном выборе S) к К слабо гиперболическое инвариантное множество А'1 .
Также доказывается существование гомеоморфизма
h: К -> М"
такого, что
KY = h(K).
В работе [2], опубликованной теми же авторами спустя 7 лет, реализовано обобщение вышеприведенного результата. В частности, наравне с устойчивым и нейтральным, рассматривается неустойчивое подпространство линеаризованной системы.
Отметим, что в обеих этих статьях делалось предположение о том, что нейтральное и устойчивое подпространства соответствующих линеаризованных систем удовлетворяют условию Липшица. В то же время понятно, что подобное ограничение является весьма существенным.
Таким образом, сама собой назрела необходимость рассмотрения нелипшицева случая.
В настоящей работе изучается проблема устойчивости инвариант-

< -°200?- > Т<І-І0<2Т. (2.16)
Мы выбрали Т, с, г, /3 и с. Положим
Будем считать также, что
О < £ <

Перейдем к рассмотрению возмущенной системы (1.2).
Рассмотрим линейную систему
с1у д(Х(*,у(Мо,уо)) + У(<,у(Мо,Уо))) л =--------------------^(2л7)
Зафиксируем 5 > 0, при котором выполнены следующие пять условий.
(1) Если (*о, х0) е К и |у0 - ж0| < е, то
|у(Мо,Уо)-д(Мо,Уо)1 < 3(/+ , 0<<-«0<2Т. (2.18)
(2) Если (г0) ж0) £ К и |у0 - ж0| < £, то
у(*, <о, Уо) £ Г(<, ж(£, *о), ^), 0 < £ - £0 < 2Т. (2.19)
Такое <5 можно выбрать в силу того, что выполнено (2.13).
(3) Обозначим Ф(£,£о,Уо) фундаментальную матрицу линейной системы (2.17), удовлетворяющую условию
Ф(*о,*о,Уо) = I-