Некоторые классы решений нелинейных уравнений волнового типа с пространственной нелокальностью

• Автор: Алфимов, Георгий Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 309 с. : 13 ил.

Содержание
Введение

1. Локальные и нелокальные задачи теории нелинейных волн

2. Нелокальное нелинейное уравнение Клейна-Гордона в моделях нелинейных решеток

3. Нелокальное уравнение синус Гордона в джозефсоновской электродинамике

4. Краткий обзор известных результатов о нелокальном нелинейном

уравнении Клейна-Гордона

5. Структура диссертации и положения, выносимые на защиту

6. Основные предположения, терминология и обозначения

Глава 1. Нелокальное нелинейное уравнение Клейна-Гордона: кин-

ки в пределе слабой нелокальности

1.1. Динамическая интерпретация уравнения (1.3)
1.2. Нелокальное нелинейное уравнение синус Гордона в пределе слабой нелокальности
1.3. Нелокальное нелинейное уравнение фА в пределе слабой нелокальности
1.4. Заключение к главе
Глава 2. Нелокальное нелинейное уравнение Клейна-Гордона с ядром Каца- Бейкера. Решения типа бегущих волн
2.1. Связь решений системы уравнений (2.5)-(2.6) с решениями нелокального уравнения (2.2)
2.2. Динамическая интерпретация нелокального уравнения
2.3. Решения типа основных кинков и антикинков уравнения (2.2)
2.4. Нелокальное уравнение синус Гордона с ядром типа Каца-Бейкера
2.5. Нелокальное уравнение фА с ядром типа Каца-Бейкера
2.6. Заключение к главе
Глава 3. Нелокальное нелинейное уравнение Клейна-Гордона с ядром iT-типа. Решения типа бегущих волн
3.1. Связь решений системы уравнений (3.4)-(3.5) и решений нелокального уравнения (3.2)
3.2. Движущиеся кинки: явление дискретизации скоростей
3.3. Покоящиеся кинки: возможность продолжения по параметру
3.4. Нелокальное уравнение синус Гордона с ядром Е-типа
3.5. Заключение к главе
Глава 4. Нелокальное нелинейное уравнение Клейна-Гордона с ядром общего вида. Решения типа бегущих волн
4.1. Метод вспомогательных полей
4.2. Класс 5-ядер. Свойства уравнения (4.2) с 5-ядром
4.3. О динамических системах, порождаемых нелокальными уравнениями
4.4. Заключение к главе
Глава 5. Решения типа кинков нелокальных уравнений джозефсо-новской электродинамики
5.1. Численный метод для нахождения решений типа 27г/с-кинков
5.2. Джозефсоновский переход между массивными сверхпроводящими электродами
5.3. Джозефсоновский контакт с электродами конечной толщины
5.4. Заключение к главе
Глава 6. Уравнение синус Гильберта-Н: точные решения и их устой-
чивость
6.1. Точные решения уравнения (6.1)
6.2. Является ли уравнение синус-Гильберта-И интегрируемым?
6.3. Спектр малых периодических возбуждений состояний (6.3), (6.5) и (6.2)
6.4. Зонная структура нелокальных задач (6.28) и (6.42)
6.5. Заключение к главе
Глава 7. Пульсирующие решения нелокального уравнения синус Гордона
7.1. Общие замечания
7.2. Численное построение решений типа квази-бризера для нелокального нелинейного волнового уравнения. Общая схема
7.3. Квази-бризеры в модели джозефсоновского перехода с нелокальной электродинамикой
7.4. Численное построение решений типа квази-бризера для уравнения синус Гильберта II
7.5. Заключение к главе
Глава 8. Уравнение — и + ир — 0 и аналитические свойства его решений
8.1. Постановка задачи
8.2. Некоторые необходимые утверждения
8.3. Аналитические свойства локализованных решений уравнения (8.5)
8.4. Аналитические свойства периодических решений уравнения (8.5)
8.5. Заключение к главе
Заключение

2. (?(£) является четной функцией,
0(0 = ОН)-
В ряде случаев оказывается удобным также считать, что ядро <2(£) зависит от некоторого дополнительного параметра А > О, характеризующего “степень нело-кальности”, причем
Функция Сп(0 при этом может быть нормирована таким образом, что оказывается справедлив предельный переход
где <5(£) - дельта-функция Дирака (предельный переход понимается в смысле обобщенных функций). Тогда при А = 0 уравнение (9) вырождается в локальное уравнение (6).
Вместе с тем, в работе также содержатся результаты, относящиеся к случаю, когда ядро С7(£) не является локализованным и запись (8) не используется (глава 6 и, частично, глава 7).
II. Ограничения на потенциал V(и). Во всех рассуждениях мы будем предполагать, что потенциал II(и) дважды непрерывно дифференцируем. Далее, мы будем считать, что потенциал и (и) допускает бистабильность в смысле следующего определения:
Определение. Будем говорить, что Б (и) - потенциал, допускающий бистабильность, если
(7) и(и) > 0 при всех и € К;
(и) существуют как минимум два различных значения и = щ и и = и, таких
(36)
ШпСл(0 = *(0
что Б (их) = и (и 2) = 0.