Некоторые краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерных областях

• Автор: Энбом, Екатерина Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Самара
• Количество страниц: 121 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I

ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ

УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

1.1 Первый аналог задачи Коши

1.1.1 Постановка задачи

1.1.2 Построение функции Римана-Адамара

1.1.3 Реализация метода Римана-Адамара

1.1.4 Исследование решения задачи

1.2 Второй аналог задачи Коши

1.2.1 Постановка задачи
1.2.2 Доказательство существования и единственности решения задачи
ГЛАВА II
ЗАДАЧИ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
2.1 Задача А
2.1.1 Постановка задачи
2.1.2 Построение решения уравнения, содержащего три произвольные функции
2.1.3 Доказательство существования решения задачи
2.1.4 Решение интегрального уравнения (2.10) и доказательство существования и единственности решения задачи в случае
0 2.1.5 Решение интегрального уравнения (2.10) и доказательство существования и единственности решения задачи в случае
(3=п, пеМ
2.1.6 Решение интегрального уравнения (2.10)и доказательство существования и единственности решения задачи в случае /3=п+а, пеЫ, 0<сг<

2.2 Задача В
2.2.1 Постановка задачи
2.2.2 Доказательство существования решения задачи
2.2.3 Решение интегрального уравнения (2.59) и доказательство существования и единственности решения задачи в случае
0 2.2.4 Решение интегрального уравнения (2.59) и доказательство ) существования и единственности решения задачи в случае
Р=п, пеЫ
2.2.5 Решение интегрального уравнения (2.59) и доказательство существования и единственности решения задачи в случае /З-п+а, иеА, 0<ог<
БИБЛИОГРАФИЯ

ВВЕДЕНИЕ

В современной теории дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования вырождающихся гиперболических и эллиптических уравнений, а также уравнений смешанного типа. Повышенный интерес к этому классу уравнений объясняется как большой теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой динамике, гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхности, в безмоментной теории оболочек, в различных разделах механики сплошных сред, акустике, в теории электронного рассеяния и многих других областях знаний. Развитие современной науки и техники показало, что вырождающиеся уравнения являются хорошей моделью реальных физических и биологических процессов. А это обусловило актуальность постановки и решения для них различных краевых задач, которые в настоящее время являются предметом фундаментальных исследований многих математиков.
Значительные результаты исследований дифференциальных уравнений рассматриваемого вида после основополагающих работ Ф.Трикоми [83] и С.Геллерстедта [21] были изложены в известных монографиях А.В.Бицадзе [10] и М.М.Смирнова [79].
Благодаря усилиям отечественных и зарубежных математиков, теория эллиптических и гиперболических уравнений, вырождающихся либо на некотором множестве точек внутри рассматриваемой области, либо на ее границе, особенно интенсивно развивалась в последние 40 лет. В их работах рассматривались проблемы разрешимости известных классических краевых задач, а также ставились и исследовались новые краевые задачи для таких уравнений.
Существенный вклад в развитие данной теории внесли болгарские математики Г.Д.Каратопраклиев [44], [45], П.Р.Попиванов [60] и другие; представители математических школ ближнего зарубежья: Т.Ш.Кальменов [43],
С.Л.Алдашев [3], [4]; Н.Р.Раджабов [66], [67]; Ар.Базарбеков [7],

- а2 (х + у + г)2а ] (х + у0 + г) 01 1(х0+у + г) 01 1 Я(а + ,а + 1,2;сг)х
х {(х + у + г)ст[{х + + *) + {хо + У + *)] + (1 - - УоХхО + У + 2)}-
Вычисляя выражение, стоящее в фигурной скобке и применяя ко второй ги-пергеометрической функции формулу автотрансформации, будем иметь:
Я2 - Ях + аЯ = -а(х0 + у0 + гУ2а (х + у0 + д)а_1 (х0 + у + г)а~1 х
: {х + у + ■
х - х
X + у + 2 а
Х0+У0+2 Х0 + У +
Л~2 а

зс + + г } / ч
Г(а,а,1;а) +
{х+у+г)
х Л)^(1 - а,1 - а,2;сг)
х0 + У +
В частности, при 2 — х, имеем:
[Я* - кх + аК=х = ~«(хо + Уо + х)_2а(2л +
х (х0 + + х)а~Х(2х + у)Н2(х,у,х0,у0), где
Нз(х,у;х(),>’()) = ^ —
2х + у
хо + Уо + х х0+у + х

2х + >>0 2х + у

х Я (а, а У; ег4) +<^-—F(l - а, - а,2; <т4). х0 + у + X
(У-Уо),
(1.12)
Совершенно аналогично вычисляется выражение
[К -К +«^]| = -«(хо+д'о+хУ2а (у+уо + хУ~х (2х+хо Г'1 х

х (2х + у)Н4{х,ух^,Уо), где
Н4 У’У’Х^.Уо)-^- — 2х + у
хо + Ур +х
^у + >-о+х )
Л2“/'
2х + х0 2х +у
l-2a
: Я (а,а,; су У)

а(у-Уо)
(1.13)
у+уо+х
Подставляя вычисленные выражения в формулу (1.9), получим более подробную запись решения: