О структуре стабильных множеств в дифференциальных играх

• Автор: Гусейнов, Халик Гаракиши оглы
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Свердловск
• Количество страниц: 106 c. : ил

§ I. Некоторые сведения из теории позиционных дифференциальных игр

§ 2. Производные многозначных отображений

§ 3. Стабильные множества

§4. Стабильные множества с кусочно-гладкой границей

§ 5. Разбиение стабильных мостов

§ 6. Условия стабильности множества программного поглощения

§ 7. Стабильные мюжества в линейной задаче сближения

Литература

В диссертации рассматриваются задачи управления по принципу обратной связи, в которых требуется гарантировать приведение управляемой системы На заданное целевое множество при любых зара -нее неизвестных помехах. Эти задачи исследуются в рамках теории дифференциальных игр, и они представляют большой практический и теоретический интерес. Среди первых результатов, относящихся к теории дифференциальных игр, можно отметить работы зарубежных математиков Р.Айзевса и У.Флеминга. Фундаментальный вклад в теорию дифференциальных игр составили исследования советских мате -матиков Н.Н.Красовского, Л.С.Понтрягина, Б.Н.Пшеншного и их сотрудников.

Объектом исследования в диссертационной работе являются

и. -стабильные мосты. Согласно подходу, описанному в монэгра -фии [<2 9] , (Л. -стабильный мост определяется как множе -
ство в пространстве позиций, соединяющее начальную позицию с целевым множеством и обладающее специальным свойством, которое позволяет определить позиционную стратегию, гарантирующую удержа -ние движений ш этом мосту вплоть до их встречи с целевым множеством. Если -стабильный мост построен, то относительно просто можно определить стратегию, доставляющую решение задачи сближения. Этим обстоятельством объясняется важность изучения И -стабильных мостов и разработка вычислительных методов для их построения. Вопросы, связанные с исследованием стабильных мостов, а также эквивалентных или близких к ним понятий и конструкций рассматривались многими авторами (см., дапример, работы[ач-с16,29, 32, 51, бг> 66, 69] ).
Как правило, в задачах, рассматриваемых в теории дифферен -циальных игр, возникают различного рода сингулярности функции цены и границы стабильных мостов не обладают гладкостью (диффе

ренцируемостью), которая позволила бы ограничиться классическими методами. Поэтому представляет интерес попытка использовать ж -которые подходы, развитые в последние годы при изучении задач недифференцируемой оптимизации. Как известно, в этих задачах ин-финитезимальный ашлиз опирается на такие понятия как субдиффе -ренциал, обобщенная производная, конусы возможных или касатель -ных направлений и т.д. (см., шпример, [ 6} 93 №3 18 , S'SJ 56-> 6 ? инфинитезимальные свойства лока ль но-липшицевых функций цены диф-ференциальюй игры. Были получены неравенства для производных по направлению, которые выражают свойства стабильности функции це -ны, обобщают основное уравнение теории дифференциальных игр и единственным образом выделяют функцию цены. Данную работу можно рассматривать как продолжение упомянутых исследований. Основным результатом, представленным в диссертации является определение стабильного моста, базирующееся на понятии производной многозначного отображения, которое по своещ содержанию близко к известному понятию конуса возможных направлений. В качестве следствия основного результата дано описание стабильного моста с кусочногладкой границей, рассмотрено конечное разбиение стабильного моста на замкнутые подмножества, приведен критерий стабильности множества программного поглощения в случае, когда это множество имеет непустую внутренность.
Диссертация состоит из семи параграфов. Для удобства ссылок в § I приведены некоторые общие определения и известные факты из теории дифференциальных игр. В § 2 дано определение производной мшгозшчного отображения и рассмотрены некоторые свойства этой производной. Приведенные в § 2 результаты можно разбить на три группы. Первую группу составляют свойства, которые сразу следуют из определения производной. Ко второй группе относятся менее

(г Х(**,£*> З) , удовлетворящее условию об15-6 (гл>£ (-6^ ^ (/^ ) <
< Р (-£*(> °() .Поскольку г^л (*л) ] П Л1 ф 0 при всех
оС (т (о) о(„) , то существует точка т0 & [Л^ П М/^ такая, что Ци)л (бл) - т 7/ ~ о(лИ (ь>оіІїоі)} ) <■ ри*, и] при всех оI (г (ог и*) .
Выберем последовательность о1к ( -•) так, чтобы
і*к -* Т* ’ ^к(') —* *3« (■) » &'(***}-* Я* ПРИ
^ ^ , Такой выбор возможен, поскольку К - компакт. Отметим, ЧТО и)*(- ) £ X (-£*, ьдЩі гХ ) і (т*} т* ) 6/Л (последнее включение - следствие замкнутости множества Л1 ).
Поскольку Р ( , Ык ) —* О при К -*■ ®о , то из оценки II [*ик ) - №*(£ик)И - Р(*ик, о(к) следует,что /"г*., А (?*■)) - (Т*> т* ) £ № » т«е« существует реше
ше ££>'* (') £ Х(**, £<5*, О") , удовлетворящее условию
{(*, г3,м):
Итак, в случае I и подслучае 2.1 существует решение с*>( )£
(г X&) , которое удовлетворяет соотношению (3.2).
Теперь остается показать, что подслучай 2.2 невозможен.
Пусть а!' & (о, о(х) таково, что №04*, ^Фи)) РХ
Для простоты будем использовать следующие обозначения і^ = Г , гХ>а (-£*) — у . Выберем іХ> & ф/ . Очевидно, что
(Г, ьй) 6 Ъ V/ и (Г, ы5) $ М , т.е* (1)с5)еЪЪ/ !Л . По определению ■£^ с= Г* имеем Г ^ )~Р (?,*) - с?
Поскольку £<5 6 ]//°(Т) у) , то // - у // - (у} К/Т )
Поэтому
//и5-у//- Жз-б Х/с) < р(г^). (3.8)
С другой стороны по определению числа 2“