Начально-граничные задачи на сопряжение для уравнений параболического типа с переменным направлением времени

• Автор: Пулькин, Игорь Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 76 с.

Глава 1. Существование и единственность обобщенного решения
§1.1. Постановка задачи
§1.2. Определение и свойства пространства И/,
§1.3. Априорная оценка нормы Ьи
§1.4. Сопряженный оператор и единственность решения
§1.5. Доказательство существования обобщенного решения
Глава 2. Существование и единственность классического решения 36 §2.1. Постановка задачи с неоднородными граничными условиями
§2.2. Определение и свойства оператора Ьх
§2.3. Собственные функции и собственные значения оператора Ьх 44 §2.4. Формулировка теоремы существования и
единственности классического решения
§2.5. Существование биортогональных систем
§2.6. Доказательство теоремы существования и
единственности классического решения
Литература
В настоящей диссертации рассматриваются различные виды краевых задач для уравнения
=/(*,()
в ограниченном прямоугольнике (а, Ь) х (О, Т), причем функция А(х, Ь) меняет знак в этом прямоугольнике, а функция В(х, £) положительна.
По-видимому, первой рассмотренной задачей такого типа была следующая: найти решение и(х, Ь) дифференциального уравнения
в полосе
П = Ж х (0,Т),
удовлетворяющее граничным условиям:

и(х, 0) = щ(х), х > 0,

и(х, Т) = ит(х), х < 0.
Данная задача была впервые рассмотрена в работе ^угеу [85], поэтому задачи на параболические уравнения в области, где коэффициент при щ меняет знак, принято называть задачами Жевре. В литературе распространен также термин “параболические уравнения

с переменным временем”. В этом случае переменную t обычно называют “временной”, а переменную х — “пространственной” переменной. В иностранной англоязычной литературе, кроме того, встречается название “forward-backward differential equation”, что можно перевести как “дифференциальное уравнение в прямом и обратном направлении”.
В последние годы получил также довольно широкое распространение термин “дифференциальное уравнение параболического типа со сменой направления параболичности” [15].
При переходе от неограниченной полосы к ограниченному прямоугольнику добавляются условия на левой и правой границах, и тогда задача может быть поставлена следующим образом: найти решение и(х, t) дифференциального уравнения
ди д2и
ssnI'¥_aP = /(a:’t)
в прямоугольнике (—1,1) х (О,Т), удовлетворяющее граничным условиям
u(—1, t) = /-(f), 0 < f < Т, «(1, t) = /+(*), 0 < t < Г,
и(х, 0) = щ(х), 0 < х < 1, и(х, Т) — ит(х), — 1 < х < 0.
При такой постановке задачи условия при t = 0 и t = Т принято называть начальными условиями, а при i = -1hi = 1- граничными.

Теорема 2. Существует такое % > 0, что при любом Т > То для любых функций щ,ит Е £2(0,1) существуют единственные наборы коэффициентов Ак,Вк Е Ь такие, что ряды (2.18) и (2.19) сходятся соответственно в ./^(П-) и ^г(^+) и выполняются в среднем граничные условия (2.2). Если дополнительно функции щ,ит Е Сд[0,1], то ряды (2.18) и (2.19) абсолютно и равномерно сходятся соответственно па замкнутых прямоугольниках и П+. При этом сумма и(х,Ь) рядов (2.18) и (2.19) дважды непрерывно дифференцируема па 0_ и 0+ и па этом мноэ/сестве удовлетворяет уравнению (2.1), а на границах этого множества — условиям (2.3) и (2.4).
Подставив начальные условия (2.8), получим при < = Т,х < О Ш(Х,Т) = ± Л е-л;г^х + 1) + вшЛ^+т
“ V яЬА* эшА* )
а при Ь = 0, х > О и(х, 0).±( + 0(1 - х).
“ V ^ к )
Сделав замены х = у — 1 при х<0нх = 1 — у при х > 0, мы “снесем” таким образом предыдущие равенства на отрезок [0,1]: