Некоторые вопросы спектральной теории в случае переменнной кратности корней характеристического многочлена дифференциального уравнения

• Автор: Фазуллин, Зиганур Юсупович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 101 c. : ил

В работе рассматриваются спектральные задачи для обыкнове» ных дифференциальных уравнений, коэффициенты которых являются аналитическими функциями от параметра. Такие задачи встречаются в различных разделах математической физики и их изучение начато
работах предпологалось, что характеристический многочлен дифференциального уравнения имеет либо различные корни, либо корни постоянной кратности.
В настоящей работе рассматривается случай, когда кратность корней характеристического многочлена меняется на некотором отрезке. На данную задачу было обращено внимание в известной монографии Тамаркина Я.Д. Отметим, что в некоторых частных случаях, когда кратность корней характеристического многочлена меняется лишь в одной точке (получившие название точки поворота), спектральные задачи изучались в работах [7 - в] . Кроме того в этих работах рассматривался простейший случай квадратичной зависимости дифференциального выражения от спектрального параметра, что значительно облегчает исследование задачи, поскольку в данном случае задача является самосопряженной.

Рассмотрим краевую задачу, порожденную дифференциальным уравнением

ц"оо + ^(*>00 ы'(х^> + ьих} — О ^ * е Со, от] ? (1)

и краевыми условиями

/л (и.) = °(4 И(о) + 0(о Ц.(°) -О •) Цг{Ы) = ^и!(Л)+ро и.С01)

(2)

3,- спектральный параметр, причем

где F.. С*) - достаточно гладкие, вещественнозначные функции на отрезке [0,-51^.

Полином
Рее) = ew + 0tx> + P20W
(3)
называется характеристическим многочленом уравнения (I).
Как мы уже отметили, случай, когда кратность корней полинома (3) не зависит от х , хорошо изучен. В настоящей работе предпологаетУсловие (4) приводит к более сложному построению асимптотических разложений в окрестности бесконечности фундаментальной системы решений уравнения (I). Этому вопросу посвящена первая глава работы.
Первый параграф этой главы посвящен построению асимптотических разложений для фундаментальной системы решений уравнения (I) на отрезке Ojju]. А именно используя подстановку
показывается, что уравнение (I) приводится к следующему виду
ся, что корни и 02.СасО полинома (3) удовлетворяют условию
дА 00 + ' ПРИ ^ & р )/и) ,
при ос е
где - некоторая фиксированная точка из интервала
(4)
у'Ui + ус=0 =° >
Так как для корней характеристического многочлена (3) справедлива формула
то, в силу условия (4), из формулы (1.2) следует, что функция ро(вна нулю на отрезке О» Я]. Предположим, что
Построение асимптотических разложений для решений уравнения
(1.1), в случае, когда функция ^Сх") обращается в нуль в некоторой точке рассматриваемого интервала, явилось предметом исследования многих математиков. Наметились различные подходы к решению этой задачи.
Первым был метод, предложенный еще 'Редеем ^9] и окончательно разработанный Венцелом [ю] , Крамерсом [II] , Бриллюэном £12] (метод БКБ), подробное изложение которого можно найти в монографии Эрдейи [13]
Далее, второй подход для исследования дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами был предложен Цвааном [14] и был основан на выходе в комплексную область. В дальнейшем этот метод получил развитие в работах Федорюка М.В. и Евграфова
Наконец метод сравнения или метод эталоного уравнения разра-

с^ (Х') В точке х ■= ^ имеет нуль первого порядка, т.е.
9-}Т(х)где Ч'('х') > О при
М.А. [15 - 17]

Из соотношений (2.4), (1.69) следует, что при Л °<з
с1 РМ1 ^ Л(Ч
и -5» ±,5 , 1 = 1,4 , (2>15)

5 М ^ _ у^
5 С») ЕЯ Л* 8<-л~> ЕГ°
Для коэффициентов ■> ^5 •> оД имеют
Ь) )> N 1ч
место следующие реккурентные соотношения:
о>) СО) р^)
Ю а О , К*=О, 6 ЬЭ = А. г±,1_
ЦК- с,4 6 г>СЛ)
и,о
= —I *± ои) о11° ,1м _ о‘Ч ,н)
1-Л р«> 1_ 6 %к-6~ 1.К-* Ц* £.,1 !.,К-1 I,
1,0
^ - 2, 9,... у "Р — 1, я, з

к - , к = 0,1 7 иЭа - ,

Я о С
1— о К ~ О 9 - А. "1
к - и , к - о, г , из5 = -д- -_ ,
(А)
к 8Г
Г-гл
и Х-а. к-ь 5 £ К-1
< - 4,5,