Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными с постоянными коэффициентами в полуплоскости в классах обобщенных функций

• Автор: Кошелева, Тамара Михайловна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ереван
• Количество страниц: 80 c. : ил

ГЛАВА I. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЯЯ РЕГУЛЯРНЫХ ДИФФЕРЕНЦШДЪНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С НАРУШЕНИЕМ УСЛОВИЯ Я. Б. ЛОПАТИНСКОГО В КЛАССЕ
§ I. Некоторые вспомогательные предложения
§ 2. Общая граничная задача, для дифференциального
уравнения в частных производных в классе 5
§ 3. Общие краевые задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных в классе
§4. Примеры
Глава II. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДНЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ В КЛАССЕ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ
ПРИ НАЛИЧИИ НЕРЕГУЛЯРНЫХ ТОЧЕК
§ I. Исследование задачи типа Коши
§ 2. Общая, граничная задача в классе П
§3. Примеры
ЛИТЕРАТУРА

1°. Многие задачи математической физики сводятся к краевым задачам для дифференциальных уравнений. Теория обобщенных функций и преобразование Фурье служат удобным средством для исследования линейных краевых задач математической физики в обобщенной и классической постановках. Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в полуплоскости при помощи преобразования Фурье приводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям в классе обобщенных функций [I].
Одним из вопросов этой теории является исследование краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в полуплоскости в классе обобщенных функций полиномиального роста при нарушении условия Лопатинского.
Пусть $ - пространство бесконечно дифференцируемых быстро убывающих функций одной переменной, а - класс линейных непрерывных функционалов на С в $ рассматривается слабая топология)
Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение

+ ^гх)и=0 1>о: хелЬл)
где ^ (х); /Э (X), ■■■, Яг - заданные полиномы действительной переменной X . Под решением понимается функционал НО-), зависящий от Ь как от параметра и принадлежащий при каждом фиксированном I > 0 пространству $ . Производная по £ функционала 11(1) понимается в слабом смысле, а производная по X - в обобщенном смысле, то есть

где (ИШ^) - значение функционала Ш1) на функции асх) &. Я
Определение I. Будем говорить, что решение (1Ш уравнения
г
(0.1) принадлежит классу 0 , если для него существуют постоянная С, , натуральные числа Я , Р, / такие, .что имеет место оценка
■л/? „У (И) _
1(^; У)! ~ С /Х/ / (/>а)1] (0.2)
для любой функции 4>(х)& ^ У! = &, X,, хп.-х.
Если функционал гХ/уне зависит от ^ , то имеем два определения принадлежности этого функционала классу 5', но согласно теореме Шварца [1] эти определения эквивалентны.
Определение 2. Считаем решение ШО уравнения (0.1) принадл / г .
лежащим классу 0^ , если оценка (0.2) имеет место при у=уо •
Будем говорить, что (У(6) ^ У7 */>■', если (Яма')
У *
и /-" - преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье функционала // О) по переменной X ).
Делая преобразование Фурье в уравнении (0.1) по переменной X , получим обыкновенное дифференциальное уравнение, имеющее вид: ,
т. / т~
^ +Яа)Ж"'-< + - + &{х)У**0* *>0’ <°-з>
где У а) — раа).
Если У , то УН) также принадлежит классу Я' ж наоборот.
Рассмотрим характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (0.3)
/%£ (0>4) *!=-
Пусть (X)) аг (Х),".} Ут (х) _ корни уравнения (0.4)
ЯеУу (X) ^ ЯеУх (х) ± . . • <£ Яе (х). (о.5)
Определение 3. Точка Ха назьшается регулярной для уравнения (0.1), если в некоторой окрестности этой точки число корней

F Sj » независящие от t . Делая преобразование Фурье по переменной X в уравнении(2.1) и начальном условии (2.4), получим следующую задачу.'
Задача Ст. Найти решение U(t) в классе S/ уравнения
- - ~ - J
inЬ Jm~*
iy°’ (2-5)
удовлетворяющее начальным условиям

dt11
ат t=o
Я = О, У, 2(2-6)
где иа) - Р 1/(0 , (■ О, } 1-1) - функционалы из класса
П.1. Р1сследование однородной задачи типа Коши.
Предварительно докажем следующие вспомогательные леммы.
Лемма 2.1. Если уравнение(2.1) регулярное с показателем регулярности Т , то функция Ял /гн (X) имеет конечное число нулей.
Доказательство. Пусть функция Ял/г^(х) имеет бесконечное число нулей, Х0 - точка сгущения этих нулей ( Х0 может быть равной * или - ). Допустим, что Х0 - конечная точка, и в
полуокрестности ( х0) Ха1~ Ь ) содержится бесконечное число нулей, где 6 - произвольное положительное число. Согласно лемме 1
в этой полуокрестности функция Ял(х) имеет вид
(X) = ((х-Хо),р)}
где Ч>(Ъ) - аналитична. в окрестности нуля. Так как
в бесконечном числе точек окрестности точки Х0 , то У(ъ) также равна нулю в бесконечном числе точек окрестности , по-