О решениях уравнения типа Эмдена-Фаулера с сингулярной нелинейностью

• Автор: Лысова, Татьяна Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 105 с.

Содержание.
Введение.

Глава 1. О задаче Коши для уравнения типа Эмдена-Фаулера с

сингулярной нелинейностью.

§1.1.0 задаче Коши для уравнения у" + Р(х)хауа =0.

§1.2.0 задаче Коши для уравнения у" ± хауа = 0.

§ 1.3. Вертикальные асимптоты.

§ 1.4. О задаче Коши для уравнения высокого порядка.

§1.5. Об уравнении у" + Р{х)хауа |1пу|*=0.

Глава 2. Асимптотические свойства решений уравнения Эмдена-Фаулера на бесконечности.

§2.1. Асимптотика решений уравнения у’ + хауа = 0.

§2.2. Асимптотика решений уравнения у" - хауа = 0.
§2.3. Асимптотические свойства решений уравнения у"+к{х)у'+Р{х)у° =0.
§2.4. Об уравнении у'" + ук=0, к>.
Литература.

Введение.
Уравнение у" ± хауп — 0 хорошо известно в математике, астрофизике и в атомной физике. Впервые оно возникло в астрофизических исследованиях Эмдена [18]. В настоящее время это уравнение обычно называют уравнением Эмдена-Фаулера. Многомерный аналог этого уравнения Au ± |x|aun = 0, где А - оператор Лапласа в N - мерном пространстве, так же принято называть уравнением Эмдена-Фаулера.
Такому уравнению посвящено большое число работ и монографий. Это внешне простое, но нетривиальное нелинейное уравнение. Хотя порядок его можно понизить, оно не решается в явном виде, однако поведение его решений можно весьма подробно описать.
Основные вопросы, которые изучались для уравнения Эмдена-Фаулера, - асимптотическое поведение решений при х —> +оо, колеблемость решений, продолжаемость решений на бесконечный промежуток, разрешимость краевых задач. Обзор реультатов по этим вопросам имеется в монографии Дж. Сансоне [13].
Большое влияние в теории уравнения Эмдена-Фаулера имела классическая монография Р. Веллмана [4], в которой уравнению Эмдена-Фаулера посвящена глава, содержащая историю вопроса и исследование асимптотического поведения его решений при х —> +оо.
Существенный вклад в теорию уравнения Эмдена-Фаулера внес F.V. Atkinson [16]. В монографии И.Т. Кигурадзе, Т.А. Чантурия [10] исследуется уравнение Эмдена-Фаулера и его аналог - уравнение высокого (больше второго) порядка у^ ± хауп — 0. Список работ, посвященных уравнению типа Эмдена-Фаулера, очень широк. Упомянем работы И.В. Асташовой [1], В.А. Козлова [20], В.М. Евтухова [7], JI.A. Беклемишевой [3], H.A. Изобова [8], Д.В. Изюмовой [9], Z. Nehari [21], J.S. Wong [23]. Во всех этих работах предполагалось п > 0.
Особо отметим работы А.Д. Брюно, изложенные в его монографии

[6]. А.Д. Брюно применяет новые методы, названные им ’’степенная геометрия”, для исследования различных нелинейных задач, в том числе и для уравнения Эмдена-Фаулера. Его алгоритм позволяет найти возможные степенные асимптотики для решений уравнения Эмдена-Фаулера.
Основная цель настоящей работы - исследование уравнений Эмдена-Фаулера при п < 0. Такие уравнения встречаются в прикладных вопросах, например, R. Aris [15].
Изучаемые в представленной работе уравнения имеют вид
у" + Р{х)уа = 0, а = const < 0 (0.1)
с различными ограничениями на функцию Р(х). В качестве решения
по определению считается положительная функция. Естественно при о < 0 возникает вопрос о существовании и единственности решений на (а, 6], удовлетворяющих данным Коши при х —У +а.
В §1.2 исследуется вопрос о существовании и единственности решений уравнений
у" + хауа = 0, (0.2)
у" - хау° = 0, (0.3)
удовлетворяющих условиям
Дтоу(а:)=0, у'(0) = А > 0.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1.5. Пусть а > —2, о < 0, х > 0. Существует бесконечно много решений уравнения (0.2) на (0,xi], удовлетворяющих условию
lim у(х) = 0.
®-»+о 4 '
Более того, если а + а + 1 < 0, то
у(х) = С(а,а)хх(1 -f о(1)), х -> +0,
Замечание. Если а < —2, то не существует решений уравнения (1.1), таких, что
lim у(х) — 0. х->+
В самом деле, если у{х) такое решение, то 0 < у (ж) < 1 при 0 < х <

у" + ха < 0.
После интегрирования от ж до 1 получим:

2/(1) - у'(х) + J хаdx < 0,

2/Ч1) “ у'(х) Н ТТ ГГ-0, 0^-1, а <-2,
а + 1 а +

У/(1)(1 - х) - УІ1) + у{х) + т~

1 ха+
+ v т.х/ . «х <0.
(а + 1)(о + 2) (а + 1)(а 2)
Пусть х -> 0, последнее слагаемое в левой части стремится к +оо, остальные ограничены, неравенство не может выполняться. Если а = —2, получим
уЧ1) - ух) ~ 1 + - < 0,

2/Ч1)(1 - х) - 2/(1) + у(ж) - 1 + х - 1пх < 0.
Неравенство не может выполняться.
Замечание. Не существует на (0,/г] решений уравнения (1.1), таких, что
Пту(т) = 0, уЧ0) = 0.
х—^-т-и