Асимптотические разложения решений пятого уравнения Пенлеве

• Автор: Парусникова, Анастасия Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 96 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава 1. Разложения решений в окрестности нуля

§ 1.1. Понятия и определения двумерной степенной геометрии

§ 1.2. Типы получаемых разложений

Степенные и степеннО'ЛОгарифмические разложения

Сложные разложения

Экзотические разложения

Экспоненциальные разложения

§ 1.3. Применение методов двумерной степенной геометрии для

нахождения разложений в нуле

Свойства пятого уравнения Пенлеве
Случай а/З'уд 0
Случай а/?7 0, <3
Случай а/3 0, 7 = 0, 6 Ф
Сводка полученных разложений
§ 1.4. Основные семейства
Связь с семействами разложений решений уравнения
Интегрируемый случай 7 = 0, <5
Глава 2. Решения пятого уравнения Пенлеве в неособой точке
§ 2.1. Случай аР'уд
§ 2.2. Случай с0 = 1, а/3 ф
§ 2.3. Случай а/3

§ 2.4. Сходимость разложений
Глава 3. Разложения и асимптотики решений в окрестности бесконечности
§ 3.1. Применение методов двумерной степенной геометрии
Случай а руд ф
Случай аРу ф 0
Сводка результатов
Случай аР
§ 3.2. Суммируемость разложений по Жевре
§ 3.3. Методы трёхмерной степенной геометрии
§ 3.4. Применение методов трёхмерной степенной геометрии
Случай аруд ф
Случай аРу ф 0, 5 = 0
Случай а — 0, Руд ф
Оставшиеся случаи
Литература
Рисунки

Введение
Данная работа является исследованием в области аналитической теории дифференциальных уравнений. Рассматривается пятое уравнение Пенле-ве. Методами двумерной и трёхмерной степенной геометрии отыскиваются асимптотические разложения и асимптотики его решений в окрестности особых и неособых точек уравнения.
Л. Фукс в работе 1884 года [5] и А. Пуанкаре в работах 1885-1886 [18], [19], [20] предложили искать в классе нелинейных дифференциальных уравнений те, решения которых не имеют критических подвижных особых точек, и при этом не выражаются через уже известные функции, в том числе и через спецфункции (особая точка функции называется критической, если при обходе этой точки значение функции меняется; особая точка решения уравнения называется подвижной особой точкой, если её положение зависит от начальных условий). Фукс показал, что уравнения вида
_ Р{т,г)
СДицг)’
где -Р(го, .г), СДад, г) по ги — многочлены, а по г — аналитичны, будут уравнениями с неподвижными критическими точками, если и только если они являются уравнениями Риккати, т. е. имеют вид
и/ = ао(-г)ш2/2 + а(г)чп + ао(г).
Параллельно с Л. Фуксом и А. Пуанкаре похожими вопросами занималась и С. Ковалевская — она рассматривала задачу о движении волчка. До её исследований Л. Эйлером и Ж. Лагранжем уже были найдены значения параметров, при которых система уравнений движения волчка оказывалась интегрируемой. Ковалевская продолжила поиск первых интегралов системы, и при этом подошла к вопросу с принципиально иной, аналитической точки зрения. Она выделила параметры задачи, при которых решения уравнений движения не имеют подвижных критических точек, а затем при

Выпуклая оболочка носителя уравнения (50) изображена на рис. 6 (на рисунке г > 0). Конус задачи /С = {Reк < г, к =/- г} П {р > 0}. С конусом задачи пересекаются нормальные конусы ребра Ф и вершин Ф® = (г, 1), — (г, 0). Вершине ф[0 = (г, 1) отвечает укороченное уравнение
r+2d2v 2 +1 dv
сги + СгГ и v — сги —— = 0,
аи1 аи
которому удовлетворяет семейство решений v — сгит, учтённое раньше. Вершине Ф20 соответствует алгебраическое укороченное уравнения, которое не даёт решений.
Ребру Ф2 отвечает укороченное уравнение
г+2 d2V 2 r_ r+1dv
crU -r~ + Т сти V — сги Ь 7сги = L),
duz du

ищем его решение В виде V = CqU°, получаем V — 2? следующий член
72 — 25г2
разложения равен —и , причем полученное разложение обращает
4сгг4
уравнение (49) в тождество. Вычисляем множество К = {/i — mir, Zi, Z2 S Z+, h+rni > 0} Г) {/г(1 — ir) -{-rfyir; I2, m2 6 Z+; l2+rn2 > 0} = {l + ir(m-l), m — I — 1 < 0, l,m € Z+}.
Итак, ребру соответствует двухпараметрическое семейство полуэк-зотических разложений
П4 : w = 1 + (сгДу- + 2fV”) « + £** Е
г2 4су7-4 у /=2 т
г G 1 {0}, cr G С. (51)
Нахождение точных решений, соответствующих ребру G
Рассмотрим общее уравнение
{у')2 = ау2 + Ьу + с, где а, Ь, с = const е С. (52)
При а = 0, b ф 0 оно имеет решение у = b/Az2 ± у/ЬСо + cz + Со- При
о = 6 = 0, сО — решение у = ±у/2cz + С. При а = Ъ = с — 0 — решение
у = С.
При а ф 0, дифференцируя (52) по z, получаем уравнение 2у'у" = 2ауу'+ Ъу’, которое имеет 2 решения: одно у = const и второе
у = C+ez + C-e-'fc - (53)