О решениях системы Гурса-Дарбу с распределенным и граничным управлениями

• Автор: Погодаев, Николай Ильич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 135 с.

1 Существование решений

1.1 Обозначения, определения и утверждения

1.1.1 Множества и пространства

1.1.2 Функциональные пространства

1.1.3 Функции Каратеодори

1.1.4 Интегральные функционалы

1.1.5 Многозначные отображения

1.1.6 Селекторы

1.1.7 Многозначный оператор Немыцкого

1.2 Дифференциальное включение

1.2.1 Предположения

1.2.2 Свойства операторов % и С*
1.2.3 Случай полунепрерывных сверху многозначных отображений
1.2.4 Построение множества К
1.2.5 Случай полунепрерывных снизу многозначных отображений
1.2.6 Смешанный случай
1.2.7 Существование экстремальных решений
1.3 Управляемая система
1.4 Комментарии
2 Свойства решений
2.1 Постановка задачи

2.1.1 Предположения
2.2 Компактность
2.3 Плотность
2.4 Бэнг-бэнг принцип
2.5 Примеры систем, обладающих свойством единственности
2.6 Граничность
2.7 Необходимые и достаточные условия компактности множества решений
2.8 Примеры операторов %
2.9 Комментарии
3 Задачи минимизации
3.1 Теорема существования
3.1.1 Предположения
3.1.2 Доказательство теоремы
3.2 Теорема Боголюбова
3.2.1 Предположения
3.2.2 Формулировка и доказательство теоремы
3.2.3 Расширение вариационных задач
3.3 Релаксационная теорема
3.4 Комментарии
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

Актуальность работы
В связи с развитием современной науки, техники и технологии все чаще возникают задачи управления и оптимизации в процессах, описываемых системами дифференциальных уравнений в частных производных. В теории управления такие системы называют системами с распределенными параметрами, а управления, зависящие от нескольких независимых переменных — распределенными управлениями.
Помимо распределенных управлений важным представляется рассматривать сосредоточенные управления, входящие в граничные условия дифференциальных уравнений (так называемые граничные управления). Меньшее число независимых переменных у управляющих функций делает такие управления особенно удобными для практической реализации.
Анализ работ, посвященных изучению систем с распределенными параметрами, показал, что в основном изучались системы с выпуклыми ограничениями на управления. Точно также в теории существования решений задач оптимального управления системами с распределенными параметрами рассматривались большей частью выпуклые задачи, т.е. задачи минимизации интегральных функционалов с выпуклыми по управлению ин-тегрантами на множествах решений распределенных систем с выпуклыми ограничениями на управление.
Таким образом, в настоящее время в теории управляемых систем с распределенными параметрами представляется важным
• исследовать задачи не только с распределенным, но и с граничными управлениями;
• исследовать системы с невыпуклыми ограничениями на управления и

Определение 1.3.1. Четверка (г, и, и1, и2), z 6 У1(7Р(Г2;Х), и € ЬР(Я;Х), и1 6 Ьр(11;Х), и2 £ ЬР(12',Х) называется обобщенным решением управляемой системы (1.33)~(1.35), если для всех (х,у) е Г2
х у х у
г(х,у) — (р(х)+-ф{у) - ip(0) + Jul(s)ds + J u2(t) dt + j J v(s,t)dsdt,
о о

v(x,y) = c1{x,y,z{x,y))zx(x,y) + c2(x,y,z(x,y))zy(x,y)+
+ c3(x, y, z(x, y))u{x, y) + c4(x, y, z(x, y))
и почти всюду имеют место включения (1.35).
Мы будем считать, что функции щ, г = 1,... 4, удовлетворяют условию Л(с'): сьс2: fixl с3: 12 х X -» & (У; X), с4: ПхХ-ч
X — являются отображениями Каратеодори и существует такое С > 0, что для всех z £ X
\ci{x,y,z)\_se(x-yK) ^ Ci |1сг(х,2/,2)||_sf(x;x)
Iсз(х,у,г)\#(у.х) К С{ 1 + zx), c4{x,y,z)x ^ С(1 + zx)
п.в. на 12.
Кроме того, для многозначного отображения U имеет место одно из следующих предположений.
At{U) : Многозначное отображение U : 12 х X —> сотрУ удовлетворяет условиям
(1) 17 совместно измеримо;
(2) для п.в. (х,у) £ 12 многозначное отображение г н-> U(x,y,z) полунепрерывно снизу;
(3) существует’ такое m > 0, что
||^(х,у, .г)||х ^ m для всех z G X и п.в. (х, у) £ il.