Разработка теории нормированных систем функций и их применения к решению начально-краевых задач для уравнений в частных производных

• Автор: Карачик, Валерий Валентинович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Ташкент
• Количество страниц: 213 с.

Глава I. Нормированные системы функций в построении полиномиальных и аналитических решений
1.1 Нормированные системы функций относительно линейных операторов
1.2 Пространства полиномиальных решений систем уравнений
1.3 Полные системы полиномиальных решений
1.4 Обратимость линейных дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами
1.5 Разложимость аналитических решений по полиномиальным. Обобщенно-однородные решения
1.6 Система гармонических полиномов и ее
свойства
1.7 Связь С-функций с полиномами Чебышева и Лежандра
Глава II. Нормированные системы функций в решении начальных задач
2.1 Классы начальных задач для общего линейного дифференциального уравнения
2.2 Задачи Коши и Гурса для уравнения 3-го порядка
2.3 Обобщение рядов Ли
2.4 Нормированные системы функций относительно вырождающегося оператора

2.5 Начальная задача для ультрапараболического
уравнения
0 2.6 Задача Гурса для уравнения Манжерона высокого порядка
Глава III. Задачи, содержащие производные высокого порядка в граничных условиях (77-задачи)
3.1 77-задача для уравнения Лапласа
3.2 77-задачн для полпгармонпческого уравнения
• 3.3 Разрешимость 77-задачи для уравнения Гельмгольца
3.4 77-задача для уравнения Пуассона
3.5 Разрешимость 77-задачи в полупространстве
3.6 77-задача для уравнения Лапласа с произвольным оператором в граничных условиях
Лштература

Во многих современных методах решения задач математической физики широко используется аппроксимация решения функциями, удовлетворяющими однородным дифференциальным уравнениям задачи. Таковы, например, метод Трефца, метод ортогональных проекций, некоторые варианты метода наименьших квадратов, метод коллокации и др. Этим обстоятельством и объясняется прикладной интерес изучения точных решений дифференциальных уравнений в частных производных.
Существуют различные методы построения точных решений однородных и неоднородных уравнений в частных производных, в которых используются формулы общих решений, интегральные представления, производящие функции и т.п. Одним из эффективных методов отыскания решений уравнений в частных производных является метод, основанный на операторном представлении решений. Сущность этого метода состоит в построении многочленов или рядов, членами которых являются итерации соответствующих операторов, действующих на заданные классы достаточно гладких функций. Это достигается, в частности, путем использования нормированных систем функций.
Основы операторного представления решений дифференциальных уравнений, как указано в [2], были заложены еще Эйлером, который дал операторное представление гармонических функций двух переменных.
Более широкое применение операторных представлений решений дифференциальных уравнений связано с работами С.Ли, где автор ввел операторные ряды, названные впоследствии рядами Ли. Наиболее полно теорию рядов Ли разработал В.Гребнер [54,55]. Ряды, обобщающие ряды Ли, построены и изучены А.Н.Филатовым [48]. Операторные
50 ГЛАВА І
заключаем, что если найдется |г9г(ж) | г Є ДГ| - система полиномов /-нормированная относительно оператора 1а{В), удовлетворяющая условию ді(х) Є Рі+ф+і) и такая, что
(£(£>) - /5(Д>))а(/г+*)+1 0а{к+1)(х) = 0, (1.42)
то формула (1.33) при £і(И) = /Д-О), Дг(-О) = £(Р) — -Д(-О) примет вид (1.41) и будет задавать полиномиальное решение уравнения (1.32). Равенство же (1.42) легко следует из определения величины а(тп) так как, для того, чтобы
(£(Д) - 7,(£>))“<’“)+1 = О
не имеет значения является ли система | і є А’} О-нормпрованНОЙ ИЛИ нет, а важно ЛИШЬ включение Й{(х) є Тщ+ік (см. лемму 1.4 XI теорему 1.7). Доказательство завершено. □
Пусть /(х) = 22 /оїа’!) а полиномы йа(х) имеют вид

а(|ст|)
да{х) = £ (-1)г‘£1'(Я)^+ст’!,

где сгЄМп,ДєА=< min ■ ■ • min Го І 7Г Є Sn >, Sn - симметрическая
7г( 1) 7Г(П—1)
группа и
C(D) = YlMaß)D°‘-
otjiß
Утверждение 6. Пусть и(х) - некоторое полиномиальное решение уравнения (1.32), тогда найдутся такие числа Са, что
и(х) = Х^ ^а+/з(х) + СаЙа(х). (1-43)
а (З^сг
Доказательство. Очевидно, что перенумерацией переменных можно добиться того, чтобы /3 = МтСкф). Согласно определения з0