Вопросы приближенного решения функциональных уравнений

• Автор: Джишкариани, Адам Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.02, 01.01.07
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1982
• Место защиты: Тбилиси
• Количество страниц: 257 c. : ил

ГЛАВА I. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ В ПРОЕКЦИОННЫХ МЕТОДАХ

§ I. Оценки погрешности метода Ритца

§ 2. Оценки погрешности метода Бубнова-Галеркина

§ 3. Оценки погрешности метода наименьших

квадратов

§ 4. Оценки погрешности одного варианта метода

Галеркина-Петрова

§ 5. Сходимость метода Бубнова-Галеркина для

одного типа нелинейного уравнения

§ 6. Оценки погрешности для нелинейного уравнения

Глава II. УСТОЙЧИВОСТЬ, В ОПРЕДЕЛЕННОМ ПОНИМАНИИ, ПРОЕКЦИОННЫХ МЕТОДОВ

§ I. Устойчивость метода Ритца
§ 2. Устойчивость метода Бубнова-Галеркина
§ 3. Устойчивость метода Галеркина-Петрова
§ 4. Устойчивость методов Бубнова-Галеркина и
Ритца для нелинейного уравнения
Глава III. ОЦЕНКИ В МЕТОДЕ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ И КОНЕЧНО-РАЗНОСТНОМ МЕТОДЕ
§ I. Оценки в методе конечных элементов
§ 2. Двусторонние оценки в разностных схемах . . ИЗ
Глава IV. НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ К ПРОЕКЦИОННЫМ МЕТОДАМ
§ I. О А- полноте системы элементов
§ 2. О приближенном решении уравнений второго
рода
§ 3. О необходимом и достаточном условии
сходимости невязки к нулю

Глава V. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОГО КЛАССА СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ I. Проекционный метод для сингулярного интегрального уравнения первого рода
§ 2. Проекционный метод для сингулярного
интегрального уравнения второго рода
§ 3. КоллокационныЙ метод для сингулярного
интегрального уравнения первого рода
§ 4. Коллокационный метод для сингулярного
интегрального уравнения второго рода
§ 5. Численный пример
Глава V1. ЧИСЛЕННЫЕ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЛОСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
. § I. Периодическая система параллельных трещин
§ 2. Внутренняя трещина в полуплоскости
§ 3. Внутренняя трещина в неоднородной плоскости, состоящей из однородных полуплоскостей
ДОПОЛНЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИ Е
Диссертационная работа посвящена вопросам приближенного решения эллиптических краевых задач и определенного класса сингулярных интегральных уравнений. Для эллиптических краевых задач применяются методы Ритца, Бубнова - Галеркина, Галерки-на - Петрова, наименьших квадратов, конечных элементов, конечных разностей, а для сингулярных интегральных уравнений применяются определенные проекционные и коллокационные методы.
В работе, в основном, исследуются проекционные методы, которые берут начало из работ В.Ритца [бо], Б.Г.Галеркина [гб], И.Г.Бубнова 0], Г.И.Петрова |ЪбД- Проекционные методы получили дальнейшее развитие в работах Н.М.Крылова, К.Фридрихса, Р. Куранта, Л.В.Канторовича, М.В.Келдыша, С.Г.Михлина, Г.М.Вайншс-ко, Р.Варга, Г.Стренга и других авторов.
Конечно-разностные и проекционные (вариационные) методы в начале развивались самостоятельно, но, как показывает метод конечных элементов, они тесно связаны. На современном этапе развития математики фундаментально обосновался ее новый раздел — вычислительная математика. В разработке ключевых научных вопросов и в создании монографий по вычислительной математике большой вклад внесли ученые: А.Н.Крылов, А.А.Дородницын, Л.В.Канторович, Л.Коллатц, В.И.Крылов, К.Л.Лионе, Г.И.Марчук, С.Г.Михлин, С.М.Никольский, А.А.Самарский, С.Л.Соболев, А.Н.Тихонов, Н.Н. Яненко. в формировании вычислительной математики весомы заслуги •
А.А.Абрамова, Н.С.Бахвалова, О.М.Белоцерковского, И.С.Березина, Е.А.Волкова, М.К.Гавурина, С.К.Годунова, Н.П.Жидкова, Ш.Е.Мике-ладзе, И.П.Мысовских, В.С.Рябенкого, В.К.Саульева, В.А.Треноги-на, Д.К.Фаддеева, В.Н.Фаддеевой, А.Ф.Филиппова и других советских ученых.
Теория сингулярных интегральных уравнений получила сильное

О грН)' ■ и>1
гтг - а*-^0а-*=- А"с:и;^р+
+ А'*"' Рц0А 4 = - (^пА1 ч) г„(РА-ы53>1^0-- ^%о)А-0( - А<-ч;Ч Аа-^-А^О^
Предположим, что оператор И непрерывно дифференцируем в точке ц0 , тогда из (5.12) вытекает, что
* А‘ч5>0 - •’а'V Ч

при п -> о*5 . кроме того,
I . Л
А'"'1 Сгп (П„ + ПМ) Р«0 А1*"1 П„ fUoA
+ (У П <,'> Ри0 А~^ —»•

в силу вполне непрерывности оператора г и0 А » 0 <^^4 • Итак, для производных получим
О Пі (5*) и П 1 J
- т

(5.13)

при п с>о. Если г вполне непрерывный оператор в Н , то (5.13) выполняется и для о(
Для уравнений (5.7) и (5.8) применима теорема 19.1 из [35].