О регулярности граничной точки и внутренней гельдеровости решений квазилинейных эллиптических уравнений с нестандартным условием роста

• Автор: Крашенинникова, Ольга Витальевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Владимир
• Количество страниц: 100 с.

Оглавление
Введение

1. Вспомогательные результаты

§1. Плотность гладких функций в классах IV(Л) и В^Л) . .

§2. Сведения о классах В7(Л) и По (Л)

§3. Неравенства для функций из класса И^Л)

§4. Разрешимость задачи Дирихле в классах В^(Л) и Д(Л) .

§5. Разрешимость обобщенной задачи Дирихле

2. Непрерывность по Гельдеру

§1. Локальная ограниченность решений

§2. Доказательство гельдеровости решений

3. Регулярность граничной точки
§1. Емкость и емкостный потенциал
§2. Неравенство Харнака слабого типа
§3. Достаточное условие регулярности граничной точки . .
§4. Необходимое условие регулярности граничной точки . .
§5. Геометрические условия регулярности
Литература

Введение
В настоящей диссертации изучаются качественные свойства решений уравнения вида
Предполагается, что показатель р(х) измерим в ограниченной области О С К", п > 2, и удовлетворяет условию
Основной целью работы является доказательство гельдеровости решений и критерия Винера регулярности граничной точки при подходящих требованиях относительно показателя суммируемости р(х).
Уравнение вида (0.1) является естественным обобщением уравнения р-Лапласа, для которого р(х) — const. Квазилинейные эллиптические уравнения типа р-Лапласа детально изучены. В частности, гельдеровость решений доказана в работах O.A. Ладыженской и H.H. Уральцевой [1], [2], а неравенство Харнака - в работах Дж. Серрина
Критерий регулярности граничной точки для уравнения Лапласа доказан Н. Винером [5]. В работе В.Литтмана, Г.Стампаккья, Х.Ф. Вейнбергера [6] установлено, что этот критерий справедлив и для линейных равномерно эллиптических уравнений второго порядка дивергентного вида с измеримыми коэффициентами. Достаточное условие
(0.1)
1 < Pi < P(z) < Р2 < ОО-
(0.2)
[3] и Н.С. Трудингера [4].

регулярности граничной точки и оценка модуля непрерывности решения вблизи границы для уравнения р-Лапласа получены В.Г. Мазьей в [7]. В работе Р. Гариепи и В.Р. Зимера [8] эти результаты распространены на более общие уравнения такого же типа. Необходимое условие регулярности граничной точки, совпадающее с достаточным нрир = 2, установлено И.В. Скрыпником в [9]. Критерий регулярности граничной точки для уравненияр-Лапласа доказан в работе Т. Килпе-лейнена, Дж. Мали [10] (частный случай см. в работе П. Линдквиста и О. Мартио [11]), где показано, что необходимое условие совпадает с уже известным достаточным.
Интерес к уравнениям с переменным показателем р(х) первоначально возник в связи с исследованиями В.В. Жиковым вариационных задач с интегрантом вида |Уир(л). Позже уравнения такого вида встретились при изучении различных задач математической физики: задача о термисторе, нелинейная система Стокса и др.
Для определения понятия решения уравнения (0.1) введем класс функций
сте с обобщенными производными первого порядка.
Если и £ И/(В) и существует последовательность функций £ ТК(Д) с компактным носителем в Л, удовлетворяющая равенству
будем говорить, что и(х) принадлежит классу Уо(П).
Определение 1. Функция и £ ЦГ{П) называется У -решением уравнения (0.1), если интегральное тождество
1Ж(Р) = {и: ие |Уи|р(ж) е ЩБ)} ,
где IV)(И) - соболевское пространство функций, суммируемых в Л вме

(0.4)

и по теореме Лебега в (1.35) можно перейти к пределу при £ —»■ +0. Отсюда вытекает, что интеграл в (1.34) неотрицателен для любой функции ф £ Уо(0), а потому равен нулю и тождество (1.34) установлено. Осталось показать единственность. Пусть и(х) и и(х) - решения задачи (0.5). Из интегральных тождеств (0.4) для и(х) и и(х) с пробной функцией ф = (и — и) 6 ¥о(Б) следует, что
J (|Уп|р(г)_2 Уи - |Уг/|р(а°~2 Уи) • У (и -и)с1х = 0. (1.36)

Поскольку
(|ег(ж) е - 1СГ(Ж) с) - (€ - С) > 0 V «е,С е 1Пга, е ^ С, (1-37)
то предыдущее тождество влечет совпадение и{х) и ь(х) почти всюду в Д. Точно так же показывается и однозначная разрешимость остальных задач. Если выполнено условие (0.12), то 1П(77) = Д(Д), ]Уо(В) — Яо(Я) и рассматриваемые задачи совпадают. Теорема доказана.
Теорема 1.4. Если льера /с удовлетворяет условию (0.10), то задача Дирихле (0.9) однозначно разрешима.
Доказательство. Пользуясь оценкой (1.32) предложения 1.6 и повторяя доказательство теоремы 1.2, нетрудно установить фундаментальность в ТТо(Д) минимизирующей последовательности £ С'0оо(Д) вариационной задачи (1.31). Покажем, что предельная функция и £ НДБ) является решением задачи (0.9). Пусть ф £ С(°(В). В силу неравенства (1.26) и сходимости щ(х) к и{х) в По(Д)
I (|Уи;|р(с)-2 Vщ - |Уы|рМ~2 V«) ■ Vф(1х <