О растущих решениях эволюционных и стационарных нелинейных уравнений с частными производными второго и третьего порядков в неограниченных областях

• Автор: Гладков, Александр Львович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 123 c. : ил

ОГЛАВШИЕ
Глава I. О задаче Коши в классах функций с произвольным ростом для нелинейных вырождающихся параболических уравнений второго порядка

§ 1.1. Постановка задачи и основные определения

§ 1.2. Существование обобщенного решения задачи Коши для уравнения, нелинейного относительно

искомой функции

§ 1.3. Существование обобщенных решений задачи Коши

для уравнений, нелинейных относительно производных искомой функции

Глава II. Задача Коши в классах растущих функций для

некоторых нелинейных уравнений с частными

производными третьего порядка

§ 2.1. Некоторые обозначения и определения

§ 2.2. Существование, единственность и некоторые
свойства решения первой краевой задачи
§ 2.3. Локальная теорема существования решения задачи Коши в слое
§ 2.4. Нелокальная теорема существования решения задачи Коши в слое
§ 2.5. Теорема единственности для уравнения с одной
пространственной переменной
§ 2.6. Теорема существования решения задачи Коши в.
области, сужающейся относительно временной., переменной

Глава III. Задача Дирихле в классах растущих функций для нелинейных эллиптических уравнений... второго порядка в неограниченных областях
§ 3.1. Постановка задачи, обозначения, предположения, определения
§ 3.2. Задача Дирихле для уравнения частного вида в неограниченной области с компактной.
границей
§ 3.3. Задача Дирихле для уравнения частного вида в неограниченной области с некомпакт
ной границей
§ 3.4. Общая теорема существования и единствен
ности
Литература

Вв едение.
В диссертации изучаются задача Коши и краевые задачи в неограниченных областях для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков с данными,возрастающими на бесконечности.
В главе I рассматривается задача Коши для уравнений
- [ 4>{и)]хх(0.1)
= [ СВ(КЖ)]Ж.^ (0.2.)
1Ц-- (Р(ЧХХ) (02)
с начальным условием
Ц(х,о)- %(сс) . (ол)
Здесь ф (^>) -гладкая функция, Ф (р) > О при рФ 0 ,
ф'(0) = Ф(0) = 0 .Типичным примером функции Ф(р) ,для которой выполняются налагаемые условия,является Ф(р)=[р1 р , где VI > % ( для уравнения (ОЛ) УЛ> ).Уравнения вида
(0.4) - (о.З) возникают в теории фильтрации,в нелинейной теории теплопроводности,а также в магнитной гидродинамике и динамике популяций.При нулевом значении решения или его производных уравнения (0.4) - (0.3) вырождаются.Вследствие вырождения, вообще говоря,может не существовать классического решения задачи Коши даже при как угодно гладких начальных данных.
Обозначим через Л а (1=4^3) классы функций ЯГСОС^), удовлетворяющих почти всюду соответственно неравенствам
(//гГСХ}{)) ^ Му(Х),

мы 2.2.1 вытекает существование в решения задачи
(2.2.24) » (2.4.3) »удовлетворяющего неравенству (2.2.30).
Покажем,что при выполнении условий теоремы решение 7/(X}i) задачи (2.2.. 2.4) , (2.4.3) является и решением исходной
задачи (2.4-4), (2.4.3) , (2.1. 4) .Зафиксируем произвольную точку Э2 € и дадим приращение Л X i 6-й координате этой точки.Из (2.2.24) следует
откуда t т
Л-г (
UiCxAht'

Здесь И;<*,t)- [U(X* AiXi)-V<*,0]/дTi,2= W>o).
где А стоит на I -имеете, UDi= Н‘и |^=о >

«•1(1,11» Jip'tuu-t AiX.t )0 * H-0)K(7,t)J е/6,

-правая
часть уравнения (2.2. 2 4 ).
Если С () ,то аналогично тому, как это сделано в
[ G ] »можно показать,что
у Ct (QT)4 C(QT),

У *,t)= 5) [ V V] щ di e с “*t0( QT) П С (QT).
Отсюда используя (2,2.2 4) ,получаем,что К (X,i)(= С (GL).
Переходя к пределу при в (2.2.33) »получаем
f .W,«* [(ЦИ),) h