Метод каскадного интегрирования Лапласа и нелинейные гиперболические системы уравнений

• Автор: Гурьева, Адель Минивасимовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 172 с.

§1. Общая характеристика работы

§2. Метод каскадного интегрирования Лапласа линейных

дифференциальных уравнений

Глава 1. Интегралы нелинейных гиперболических систем уравнений

§3. Полный базис интегралов

§4. Линейное представление интегралов

Глава 2. Инварианты и обобщенные инварианты Лапласа открытых цепочек Тоды

§5. Цепочки Тоды серии Лп и Сп

§6. Цепочка Тоды серии Вп

§7. Цепочка Тоды серии Т>„

§8. Исключительные матрицы Картана

Глава 3. Классификация интегрируемых гиперболических систем уравнений
§9. Уравнения Эйлера - Пуассона
§10. Уравнения вида иху = (р(и, г>), уху = ф(и^)
§11. Уравнения вида
иху = 1р(и,т,их,иу), уху — ф(щу^х,уу)
Глава 4. Построение решений гиперболических систем уравнений
§12. Общее решение уравнений Эйлера - Пуассона
§13. Построение х- и у- интегралов для систем уравнений
с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа второго
порядка
§14. Построение общего решения для систем уравнений с нулевыми обобщенными инвариантами Лапласа второго порядка
Заключение
Литература
Приложения
Приложение
Приложение
§1. Общая характеристика работы
Различные математические модели во многих случаях приводят к дифференциальным уравнениям гиперболического типа.
Известно, что гиперболические уравнения
^ху = у, и, иХ) Ну) (1-1)
являлись объектом классических исследований. Так, например, в 1773 году Пьер Симон Лаплас предложил "каскадный метод", дающий общее решение для специальных линейных гиперболических уравнений второго порядка с переменными коэффициентами.
Поиск точных решений гиперболических уравнений второго порядка - задача сложная. Взяв наугад какое-нибудь даже линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка, трудно сказать имеет ли это уравнение хотя бы одно решение. Потому что гиперболические уравнения имеют точные решения только в редких случаях.
Поэтому для теории уравнений с частными производными естественным является введение понятия интегрируемости уравнений.
По-видимому, Жан Гастон Дарбу был первым, кто дал определение точно интегрируемых гиперболических уравнений (1.1) [43, 44, 46, 47, 48].

— 11, 52„-2 — 0.
Ят = сНа§ {0,0 0, Ъ (бЦ]+1) , Ъ (вЩ]+2) (С)} ,
= 2,3, ...,2п-3, = {«*,и2 гг”}, Я2п-2 = 0.
Ненулевые элементы матриц = (^г) , т = 1,2, ...,2п
определяются следующим образом:
г = ехр(ит_г+1), г = [у] + 1, [у] + 2,... ,га - 2, т = 5,6, ...,п и
* = [т] + [т] + 2> • ■ • >п — 1> т = п + 1,п + 2, • ■ ■, 2гг — 3,
2 = ехр(а1-т+1), г = т + 1, т + 2 п, т — 1,2 п — 1,
С-1,т-1 = 2 ехр(и2), т = 3,4 п,
Сщ = -ехр(^+2), г = [у] + гт, [у] + гт + 1 т - 1, т = 2,3, ...,га - 1 и
* = [?] + гт, [у] + гт + 1 п - 2, га = п, п + 1 2п - 4,
где гт = 0, если га - четное и ггп — 1 при нечетном га,
С 1,1 = “ ехр(иг+1), г = га, га + 1 п — 1, га = 1,2 п — 1, гт—1,т = 2ехр(и1), т — 3,4,... ,п,
С,т+1 = ехР(4> = 1,2 гг- 1,
Е2п-2 — нулевая матрица.
Положим

1 0 0 4

и через Ф&— обозначим матрицы гг- го порядка
( Т?. _ л п
Ек-2
о д3

к — 2,3 п 1, Фп
£-1