О разрешимости вариационной задачи Дирихле для некоторых классов нелинейных дифференциальных уравнений с вырождением

• Автор: Ганиев, Муродбек Шамсиевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Душанбе
• Количество страниц: 105 с.

Оглавление
Введение
1 Вариационная задача Дирихле с однородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве

1.1 Теоремы вложения разных метрик для весовых функциональных пространств Ур.1р{К)

1.2 Вариационная задача Дирихле с однородными граничными условиями

2 Вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями для нелинейных дифференциальных уравнений в полупространстве

2.1 Пространство Ивд (Д£) и его свойства

2.2 Вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями на гиперплоскости хп = 0
3 Вариационная задача Дирихле для нелинейных дифференциальных уравнений, вырождающихся на неограниченных т-мерных многообразиях

3.1 Функциональные "пространства и вспомогательные интегральные неравенства

3.2 Вариационная задача Дирихле с однородными граничными условиями

3.3 Вариационная задача Дирихле с неоднородными граничными условиями
Литература

Введение
Диссертационная работа посвящена исследованию разрешимости вариационной задачи Дирихле для вырождающихся нелинейных дифференциальных уравнений. Применяется метод, основанный на элементах теории весовых пространств дифференцируемых функций многих вещественных переменных (теоремы вложения, эквивалентные нормировки, прямые и обратные теоремы о следах, теоремы о плотности гладких функций и т.д.). Этот метод впервые был применен Л.Д. Кудрявцевым в работе [20], где исследовалась разрешимость вариационной задачи Дирихле для линейных эллиптических уравнений второго порядка со степенным вырождением. Дальнейшим усовершенствованием этого метода занимались С.М. Никольский, П.И. Лизоркин, Н.В. Мирошин, X. Трибель, Б.Л. Байдель-динов, Ю.Д. Салманов, К.Х. Бойматов, С.А. Исхоков и др.
В работах С.М. Никольского [34], П.И.Лизоркина и С.М. Никольского [24, 25, 26], П.И. Лизоркина [27], П.И. Лизоркина и Н.В. Мирошина [28],
Н.В. Мирошина [29, 30, 31] изучены однозначная разрешимость и дифференциальные свойства решений вариационной задачи Дирихле, связанной с билинейной формой
коэффициенты которой имеют форму произведения ограниченной функции и степени регуляризованного расстояния до границы ограниченной области.
В работах С.А. Исхокова [12, 13] получена априорная оценка решений общего эллиптического уравнения высокого порядка в произвольной области с нестепенным вырождением и применением этой оценки изучена гладкость решения вариационной задачи Дирихле с неоднородными граничными УСЛОВИЯМИ В ПОЛупрОСТраНСТВе = {х = {х, Х2, хп)
(х', хп) £ Д, : хп > 0}. Случай вырождающихся эллиптических уравнений, заданных во внешности ограниченной области, рассмотрен в работах

Н.В. Мирошина [32, 33], С.А. Исхокова и Г.И. Сивцевой [14].
В работе Ю.Д. Салманова [39] изучена разрешимость вариационной задачи Дирихле для эллиптических уравнений в ограниченной области, вырождающихся на многообразиях произвольной размерности меньше размерности пространства. Случай эллиптических уравнений, вырождающихся в неограниченных многообразиях различных измерений, рассмотрен в работах Г.И. Тарасовой [41, 42] и С.А. Исхокова, Г.И. Тарасовой [И].
Существование обобщенного решения некоторых классов вырождающихся дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений изучено также в работах А.Д.Баева [1, 3], А.Д.Баева и П.В.Садчикова [7, 8], П.В.Садчикова [36]. В этих работах используется метод, основанный на специальном классе так называемых весовых псевдодифференциальных операторов. Эти операторы построены по специальному интегральному преобразованию Д*, которое было введено в работе [5]. Псевдодифферен-циальные операторы, построенные по этому преобразованию, были рассмотрены в работах [4, 6].
Заметим, что все отмеченные выше работы относятся к случаю линейных эллиптических уравнений с вырождением. Нелинейные дифференциальные уравнения с вырождением рассмотрены в работах Н.В.Крылова [17] - [19], Ю.Д. Салманова [37, 38, 49], С.А. Исхокова [47, 48, 15, 16]. В работах [17] - [19] изучена первая краевая задача в классической постановке для некоторых специальных классов вырождающихся нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. В работе [37] изучены нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения высокого порядка, а в работе [38] рассмотрены нелинейные уравнения в частных производных высокого порядка в ограниченной области п-мерного евклидова пространства. Задачи, рассмотренные в работах [37, 38], могут иметь неоднородные граничные условия.
В работах [15, 16] изучены общие эллиптические уравнения в произвольной (ограниченной или неограниченной) области с нестепенным вырождением. Решения этих уравнений ищутся в функциональных пространствах, в которых класс финитных функций плотен. Поэтому краевые задачи, рассмотренные в этих работах, относятся к случаю однородных граничных условий. Краевая задача с неоднородными граничными условиями для вырождающихся нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка рассмотрена только в случае ограниченной области [38, 48]. Таким образом, тема диссертационной работы, целью которой
1.2 Вариационная задача Дирихле с однородными граничными условиями
Пусть г - натуральное число. Каждому мультииндексу к такому, что |&| < г, сопоставим число Рк > 2 и рассмотрим дифференциальное уравнение
/ и 2
Е (—1)1*4 оЦж) |и(ж)| м(жм = Д же (1.2.1)
|*|<г ' '
Очевидно, ЭТО уравнение является нелинейным, если Рк Ф 2 хотя бы для одного мультииндекса к.
Определение 1.2.1. Функция и{х) называется обобщенным решением уравнения (1.2.1), если для всех и(х) Є Со°(.й+) выполняется тосис-дество

сД =< Л1, г; >,
(1.2.2)
где < Л1, V > означает значение функционала Ф на функции и(х), если же Г - обычная функция, то < Д и > - скалярное произведение функций Р(х) и и(х) в Д(-йп)-
При к = 0, |&| = г положим рк = р.
Целью настоящего параграфа является изучение разрешимости следующей вариационной задачи Дирихле для нелинейного уравнениям (1.2.1).
Задача Д>. Для заданного функционала Л1 6 {Ур-Дп))* требуется найти обобщенное решение уравнения (1.2.1), принадлежащее пространству 1фД(ДД, то есть функцию II(х) £ Ур.ДК), удовлетворяющую тождеству (1.2.2).
Предполагается, что коэффициенты аДх) уравнения (1.2.1) удовлетворяют условие
сі (ф(хп) х,}к < аДх) <
< с2 (ф(хп) |Ь|_Г)Р ('хп~1+Рк/р') (|&| < Г, X Є В£) ,
(1.2.3)
где положительные числа С1,С2 не зависят от х. Так же, как в §1.1, считается, что ср(хп) - положительная функция из класса С1(Я1[), удовлетворяющая условию
УЫ < М<р(хп)х~ £ (0,+оо). (1-2.4)