Ненулевые периодические решения автономных систем дифференциальных уравнений с особенной матрицей при производных

• Автор: Моисеев, Дмитрий Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Рязань
• Количество страниц: 105 с.

Глава 1. Необходимые и достаточные условия существования периодических решений систем дифференциальных уравнений
§1.1. Основные определения и вспомогательные результаты
§1.2. Разбиение пространствам,,^) на прямую сумму трех подпространств и решение уравнения в бесконечномерном подпространстве
Глава 2. Ненулевые решения векторных уравнений
§2.1. Необходимое условие существования ненулевых решений векторных
уравнений
§2.2. Решение векторного уравнения в случае линейной независимости
строк матрицы линейной части
§2.3. Поиск решения векторного уравнения в случае линейной зависимости
строк матрицы линейной части
§2.4. Метод выделения параметра
Глава 3. Периодические решения систем дифференциальных уравнений
специального вида
§3.1. Решение системы дифференциальных уравнений в бесконечномерном
подпространстве
§3.2. Достаточные условия существования периодических решений систем
дифференциальных уравнений специального вида
Заключение
Литература
Актуальность темы. В данной работе рассматриваются автономные нелинейные системы дифференциальных уравнений, зависящие от параметра, с матрицей при производных. Матрица при производных предполагается постоянной. Предполагается, что система имеет тривиальное решение при любом значении параметра. Задачей исследования является определение условий существования ненулевого периодического решения данной системы с заранее неизвестным периодом, который находится в окрестности заданного числа.
Проблема нахождения периодического решения является одной из основных проблем в качественной теории дифференциальных уравнений. Системы дифференциальных уравнений моделируют различные процессы в физике, химии, экономике, биологии и других науках [1, 18, 23, 35, 44, 68]. В частности, системы дифференциальных уравнений с особенными матрицами при производных необходимо исследовать при анализе моделей в теории автоматического регулирования и линейных электрических цепей [47]. Такие системы возникают при использовании метода слабой аппроксимации [73] и метода сферических гармоник [36, 53]. Исследование таких моделей во многих случаях требует решение проблемы нахождения периодического решения в зависимости от значения параметра.
Изучению периодических решений систем дифференциальных уравнений посвящено большое количество работ. Однако общего подхода к решению проблемы не существует. Так, в случае неособенной матрицы при производных недостаточно изучены критические случаи, при рассмотрении которых требуется привлекать свойства нелинейных членов системы.
В случае систем с особенной матрицей при производных даже вопрос о существовании решения в смысле классического определения остается открытым.

Исходя из вышеперечисленного, можно сделать вывод, что определение условий существования ненулевого периодического решения системы дифференциальных уравнений с заранее неизвестным периодом, который находится в окрестности заданного числа, является достаточно важной задачей. Все это подтверждает актуальность данной работы.
Цель работы. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида
А—+Вх+Дх,Л) = 0, (0.1)

в которой хеR", А, В - постоянные матрицы, матрица А в общем случае может быть особенной, ÄeR" Л - параметр, функция f(x,Ä) непрерывна по х, Л и /(0,Л) = О при любом значении Л. Предполагаем, что справедливо
представление f(x, Л) = С(х, Л) + D(x, Л), где С(х, Л) - форма порядка 5 >
относительно переменных х, Л:
С(1х,/Л) = ВС(х,Л), (0.2)
D{x, Л) - конечная сумма форм более высокого порядка, чем s, относительно тех же переменных, С(0, Л) = 0, D(0, Л) = 0. Ставится задача - определить условия существования ненулевого а> -периодического решения системы (0.1) в окрестности нулевого решения, когда решение представимо в виде тригонометрического ряда. При этом величина периода со принадлежит окрестности некоторого известного числа.
Рассмотрим кратко основные результаты, имеющиеся по данной проблеме.
В случае неособенной матрицы при производных проблема существования периодических решений и их бифуркаций рассматривалась в обширной литературе. Отметим работы В.В. Немыцкого, В.В. Степанова [37], И.Г. Малкина [33, 34], В.А. Плисса, М.А. Красносельского [26], исследовавших общие вопросы существования периодических решений систем, A.A. Андронова [3, 4], изучавшего динамические системы на плоско-

видно, что если а +р ф 0, то ||ог]| + р ф 0, поэтому далее будем искать решение уравнения (2.1), удовлетворяющее условию |а| +р
Пусть гап^Л = г, 0 <г<1. Если г = 0, то рассматривается уравнение (2.1) при М = 0. Если г>0, то с помощью операций элементарных преобразований строк уравнение (2.1) можно привести к системе
[М0р + оу) = 0,
(2.4)
[о0Су)+4уГ)=о,
где М0 - (гх/)-матрица, rcmgMQ = г, С(1(у) - форма порядка 5 относительно у,
= 0, Ііт - * - 0. Обозначим НЛу) = со1оп(Мав,С0(у)).
у->о |^| ,-»о
Теорема 2.1. Если существует элемент у’, |у*| = 1, такой, что Н0(у) ф 0, то в любой окрестности элемента у = 0 имеется множество, в котором нет решения системы (2.4).
Доказательство. Введем замену переменных
У = РУ, (2-5)
где р> 0. Пусть р = рру. Тогда система (2.4) примет вид
рМЛ +о(ІА>’|)=0» р'Оо^О + оіірУіі^О,
то есть
ад^-.,ад#=«.
Р Р
Отметим, что для любого у,, принадлежащего множеству {у,: |у,| < д}, где
Д>1, Ііш - о, ііш °(і^І ) = о, равномерно относительно у,. Обознар-+ О Р Р-* 0 Р*

°(рУі) °(ідуіГ)1
р ' р‘ )

0(/зу1)