Гамильтоновы системы на конфигурационных пространствах и инварианты Васильева

• Автор: Кирин, Николай Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Коломна
• Количество страниц: 142 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Гамильтоновы динамические системы
1.1 Уравнения Эйлера-Лагранжа
1.2 Уравнения Гамильтона
1.3 Градиентные и гамильтоновы системы
1.4 Скобки Пуассона и скобки Лагранжа
2 Интегральные представления инвариантов конечного порядка
2.1 Инварианты Васильева для кос и узлов
2.2 Итерированные интегралы и их свойства
2.3 Геометрические косы и пути в
конфигурационном пространстве
2.4 Итерированные интегралы Чена и
инварианты Васильева
3 Классическая вихревая динамика на плоскости
3.1 Уравнения движения вихрей
3.2 Основные свойства движения системы п вихрей на плоскости
3.3 Относительные переменные в вихревой
динамике
3.4 Задача двух вихрей на плоскости
3.5 Задача трех вихрей на плоскости
3.6 Конфигурации трех вихрей на плоскости
4 Гамильтоновы системы и инварианты Васильева
4.1 Гамильтоновы системы и инварианты
Васильева

4.2 Проблема распознавания траекторий системы декартовых вихрей
на плоскости
4.3 Гамильтоновы системы, отвечающие
инвариантам Васильева второго порядка
4.4 Разложение инварианта Васильева второго порядка при п = 3
4.5 Неподвижность центра завихренности системы трех вихрей на
плоскости
4.6 Сохраняющиеся коллинеарные конфигурации системы трех вихрей
на плоскости
4.7 Томсоновские конфигурации системы трех вихрей на плоскости .
4.8 Задача двух вихрей для инвариантов второго и третьего порядков
Литература

Введение
Актуальность и история вопроса. Во многих разделах современной теоретической физики возникают задачи описания аналитических и динамических свойств систем с гамильтонианами, определяемыми итерационными процедурами. Естественной математической базой этих задач являются теория итерированных интегралов Чена.
Одной из первых таких задач, появившихся в гидродинамике, и тем не менее еще полностью не решенной, является проблема описания движения п вихрей на плоскости или на сфере.
Основателями вихревой динамики являются Р.Декарт, X.Гюйгенс, Иоганн и Даниил Бернулли.
Значительное развитие вихревой динамики относится к середине XIX века. Оно связано с именами Г.Гельмгольца, Г.Кирхгофа, лорда Кельвина, В.Гребли. Ими получены существенно новые результаты в гидродинамике, создана наиболее общая вихревая теория материи.
Г.Гельмгольц1 доказал основные теоремы движения жидкости с неоднозначным потенциалом скоростей. Важнейшим его достижением является теорема, согласно которой вихревые линии вморожены в идеальную жидкость. Эта теорема позволила рассматривать вихревые образования как некоторые материальные объекты, подобные телам в классической механике. Подробный анализ результатов Гельмгольца и приложение теории вихрей к электродинамике и метеорологии
’Гельмгольц, Г. Основы вихревой теории [Текст]/Г.Гель.мгольц.-М.-Ижевск: Институт Компьютерных Исследований, 2002.-82 с.

1.2 Уравнения Гамильтона
От уравнений Эйлера-Лагранжа можно перейти к системе обыкновенных дифференциальных уравнения первого порядка, если ввести дополнительные переменные, называемые импульсами, согласно соотношениям
дЬ • 1 Рг = д±*’ 1 =
Эти переменные предполагаются независимыми между собой и с координатами х'. Кроме того, нужно определить энергию системы.
Определение 1.2.1. Энергией системы называется выражение
Е = Е{х,х) = х{~ - L.
4 ' дхг
Определение 1.2.2. Лагранжиан L называется невырожденным, если
Определение 1.2.3. Лагранжиан L называется сильно невырожденным, если г/равнения pi = Ш можно гладко и взаимнооднозначно разрешить в виде хг = vl(x,p), для всех х и х.
Определение 1.2.4. Галшлътонианом Н(х,р) называется энергия
Е(х,х) = хг~~ — L, ох
выраженная в координатах х и р с сильно невырожденным лагранжианом L.
Переход от координат (х,х) к координатам (х,р) фазового пространства является обратимым, если лагранжиан L сильно невырожден. Такой переход называется преобразованием Лежандра от L{z, v) к Н(х,р). Справедлива теорема: