О разрешимости функционально-дифференциального уравнения второго порядка с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве

• Автор: Мерданова, Наима Шамильевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 91 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Обозначения и определения. Вводные замечания

Некоторые вспомогательные предложения

Краткое содержание диссертации

ГЛАВА I. Теоремы существования и единственности

§ 1.1. Стационарные уравнения

§ 1.2. Нестационарные уравнения

§1.3. Примеры

Ф Глава II. О нормальной разрешимости

§2.1. Теоремы о размерностях ядра и коядра
§2.2. Теорема о нулевом индексе
Литература

Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом возникают в самых разнообразных областях современной науки и техники: автоматике и телемеханике, радиоэлектронике и электрорадиосвязи, радиолокации и радионавигации ([46],[51]), в теории упругости, при изучении проблем, связанных с горением в ракетном двигателе ([19],[36],[46]), в математической теории управления [53], биологоматематической теории флуктуаций совместно живущих видов [18], при описании изменений антигенов и антител в организме [48], при описании явлений микромира, задачах теории поля, релятивистской динамике, физике плазмы, физике твердого тела [49]. Применения дифференциально — функциональных уравнений ’’пронизывают все ветви современной науки” ([10],с.9).
Согласно [44] дифференциальным уравнением с отклоняющимся аргументом (ДУ с ОА) называется уравнение, в которое искомая функция и ее производные входят при различных значениях аргумента Учет ’’феномена запаздывания” важен для правильного качественного и количественного описания различных систем и процессов. Пренебрежение наличием даже малых запаздываний ведет к парадоксальным выводам [29].
Во многих случаях системы с последействием и запаздыванием можно рассматривать как системы с сосредоточенными параметрами, но некоторые системы имеют звенья с существенно распределенными параметрами (системы управления прокатными станами, нагревательными печами, гидротехническими сооружениями [51], биодинамические системы [18], длинные электрические линии [29], уравнение нелокальной квантовой теории поля [49]).
Первоначальное появление ДУ с ОА в 18 веке связывается с именами Кондорсе, Эйлера и Бернулли. Наиболее ранние исследования задач,
сводящиеся к решению ДУ с ОА принадлежат Эйлеру [52]. Первая из этих задач была опубликована в его работе 1751 года ’’Новый метод нахождения взаимных алгебраических траекторий”.
С середины 20 века теория дифференциально - разностных уравнений получила значительное развитие. Существенно способствовал этому интерес к теории автоматического регулирования. Имеется обширная библиография (главным образом относящаяся к случаю конечномерного пространства), посвященная различным аспектам этой теории. Отметим монографии А.Д.Мышкиса [44], Р.Беллмана, К.Кука [10], Дж.Хейла [55], Э.Пинни [48], Л.Э.Эльсгольца [58], С.Б.Норкина [46],
Н.В.Азбелева [2], В.Г.Курбатова [34], Г.А.Каменского, А.Л.Скубачевского [24], В.Б.Колмановского, В.Р.Носова [29], А.А.Миролюбова, М.А.Солдатов [43], авторы которых внесли значительный вклад в развитие теории ДУ сОА.
Теория уравнений с ОА со значениями в банаховом прстранстве в целом разработана менее, чем для уравнений без отклонений аргумента.
Уравнение Шх = / с линейным оператором .£? : О/ —> В, где В -банахово пространство, а Я - банахово пространство, изоморфное прямому произведению Вх1п, называется абстрактным функционально - дифференциальным уравнением [2]. Теория абстрактного функционально - дифференциального уравнения сформировалась за последние годы и начинает играть заметную роль в различных исследованиях. В [2] общая теория абстрактного функционально - дифференциального уравнения использована для изучения линейного скалярного уравнения п - го порядка и некоторых классов импульсивных систем, при изучении приводимости нелинейных уравнений, в математическом моделировании детерминированных линейных систем.
Основы теории дифференциальных уравнений с неограниченными

(1 — ехр(еНк])) при е —>■ 0, учитывая, что пт----------------- — = 0.
1з = J ехр(—2е€) |1 + Л0 — ехр(еЪ,^) (1 + А0 + ге) х

хе(£ - %,-) + ^ехр{гкк^2 сИ ^ 2 J ехр(—2еЬ) |1 + А0 — ехр{ек^):

х (1 + Ао + ге) е(Ь — Л.*;)]2 сИ + 2£2ехр(2£к^) J ехр(—2еЬ)сИ <
< 2 |1 4- А0| ехр{—2)кк^ - 4ехр(-2)ехр(еНк,•) |1 + А0 + ге| х

х |1 + Ао| £ ■ -к^ + 2ехр{2екк]) |1 4- А0 + ге е2ехр{-2) • к^ +
+2£2ехр(2£к^)ехр(-2)кк^ -> 2 |1 + А0|2 ехр(—2)кк] — -4ехр(-2) |1 + А0|2 кк] + 211 + Хо^ exp(-2)kkj = О
при е -4 О,

/4 = / ехр(—2ег) |1 + А0 — ехр(£кк]) (1 + А0 + ге)|2 (И ^

^ |1 4- А0 + ге|2 (1 - ехр(£к^))2 / ехр(—2е<)Л —> О
т+ь*#
при £ —>■ 0.
При к^ < О,
1о = ! етр(-2е^) 1(1 + Ао) • 0 - ехр(£к^) (1 + А0 + ге) • 0 + 0|2£Й = О,