Интегрирование пространственно-двумерного нелинейного уравнения Шредингера методом обратной задачи рассеяния

• Автор: Починайко, Марта Дмитриевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Киев
• Количество страниц: 99 c. : ил

ГЛАВА I. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ДИРАКА
§ I. Задача рассеяния
§ 2. Операторы преобразования
§ 3. Свойства оператора рассеяния
§ 4. Обратная задача рассеяния
§ 5. Описание данных рассеяния
§ 6. Точные решения
Глава II. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВЕННОДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА МЕТОДОМ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ
§ I. Представление Лакса
§ 2. Эволюция данных рассеяния '
§ 3. Метод обратной задачи рассеяния для
нелинейного пространственно-двумерного уравнения Шредингера
§ 4. Точные решения
§ 5. Задача Коши
Глава III. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВЕННО-ДВУМЕРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА КАК ГАМИЛЬТОНОВА СИСТЕМА
§ I. Двумерные вольтерровские интегральные
операторы и их свойства
§ 2. Группа и алгебра Ли-Вольтерра
§ 3. Орбита коприсоединенного представления группы Ли-Вольтерра. Уравнения Гамильтона на орбите
§ 4. Интегралы движения
ЛИТЕРАТУРА

Исследование нелинейных уравнений математической физики представляет значительный интерес для теории и приложений. В 1967 г. в работе [ 30] был предложен метод интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений, названный методом обратной задачи рассеяния /МОЗР/. Дальнейшее развитие этого метода получено в работах Лакса П.Д. 1311 .Захарова В.Е., Шабата А.Б. [7,81 . Методом обратной задачи рассеяния исследовались уравнение Кортевега-де Фриза, уравнение 'iiftf-frordon , нелинейное уравнение Шредингера и ряд других уравнений. При этом..были получены решения нелинейных уравнений в классе быстроубывающих функций. Процедура нахождения периодических решений нелинейных уравнений получена в работах Новикова С. П. [2UM1 , Марченко В.А. [131 . Вышеизложенное относится к уравнениям, содержащим неизвестные функции, зависящие от времени и одной пространственной переменной. Перенесение МОЗР на нелинейные уравнения, содержащие неизвестные функции, зависящие от времени и больше одной пространственной переменной, является нетривиальным и обсуждалось в работах Манакова С.В. [12,5] , Захарова В.Е., Шабата А.Б. [8,24,38] . Применение МОЗР для пространственно-двумерных уравнений требует хорошо изученных пространственнодвумерных прямых и обратных задач рассеяния. Некоторые пространственно-двумерные задачи рассеяния рассмотрены в работах Никника Л.П. [Н-17] . Результаты этих работ применимы для интегрирования соответственных нелинейных пространственно-двумерных уравнений.
Открытие МОЗР имело фундаментальное значение и привело к исследованию различных математических структур, связанных с дифференциальными уравнениями. В работах Гарднера К.С. [29] , Захарова В.Е., Фадцеева Л.Д. [б1 была построена теория КдФ как гамильтоновой системы. Гельфанд И.М., Дикий Л.А. в работах [2,3]
50.

/(і)
/а
^ ? ид[Х,у|і)

V игс*,уі»
Систему уравнений /2.1/ запишем в вице обобщенного представления Лакса
21Ро,
где Р , 0» - матричные операторы вида
р /Т)-^ , 2ил,^с ^ 7 -21г2и^
I 2.к2и2)^ ? 2^2,х ^ Т)~'Ц*2(
Т) = М т
І + I 21 и <£ $1 + >Чх2
/2.2
/2.3
§ 2. Эволюция данных рассеяния
Для решений системы уравнений /2.1/ будем использовать результаты по прямой и обратной задаче рассеяния для системы уравнений
Дї = о,
/2.4
которая подробно изложена в первой главе. Как следует из теоремы 1.3 /глава I/, оператору ставятся в соответствие данные рассеяния Рі2 * ^21 или Р24 , ^ . Исследуем эволюцию данных рассеяния, когда коэффициенты оператора Дирака /-> являются решениями уравнения /2.1/. Изучим уравнение /2.4/.
Лемма 2.1. Если - решение системы уравнений Дирака /2.4/, коэффициенты которой 11* , Ы2 удовлетворяют системе /2.1/, то функция Т = РЧ' также будет решением системы /2.4/.